為了解決實際問題、人們必須發(fā)明出“零”來，然后要造出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)乃至虛數(shù)。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意思，不過解代數(shù)方程有必要把它請進來，請進來后又覺得它不實在、不太放心。后來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。
復(fù)數(shù)擠進數(shù)學(xué)王國之后，跟著四元數(shù)、八元數(shù)、超復(fù)數(shù)……都來了，它們可沒有復(fù)數(shù)都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數(shù)學(xué)家處于為難的境地。數(shù)學(xué)家經(jīng)常處于這種矛盾的過程中。 “什么是存在？”，這是數(shù)學(xué)的一個基本問題。什么東西可以擠進數(shù)學(xué)王國？直覺主義者規(guī)定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構(gòu)造出來；而形式主義者規(guī)定一個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當(dāng)然邏輯沒有矛盾，其實就是遵守形式邏輯規(guī)律�？墒切问竭壿嬍菑娜祟愑邢藿�(jīng)驗推出來的，對于無窮情形還靈不靈？這當(dāng)然存在問題，可是不許推廣，那數(shù)學(xué)還能剩下多少靠得住的東西呢？
在數(shù)學(xué)史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現(xiàn)時，漏洞百出、無法自圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達(dá)朗貝爾說：“前進，你就能恢復(fù)信心!”，這可以說是一種實用主義態(tài)度。
十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮小，這里無矛盾性占了上風(fēng)。1961年，羅濱遜發(fā)明非標(biāo)準(zhǔn)分析，又把無窮小量請了回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎(chǔ)上，要承認(rèn)非可數(shù)無窮基數(shù)的存在。
承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好象打開潘朵拉的盒子，一切災(zāi)難都出來了。這就是第三次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因?qū)懥艘槐尽稊?shù)學(xué)—確定性的喪失》一書，就是講的這件事。 現(xiàn)代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)可是血肉相連的。所以第三次危機表面上解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機也會給數(shù)學(xué)帶來許多新內(nèi)容，新認(rèn)識，有時也帶來革命性的變化。
把二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)同前整個數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容不知豐富了多少，認(rèn)識也不知深入了多少。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測度論。數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)，成為數(shù)學(xué)有機整體的—部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維，代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來越優(yōu)美、完整。一系列經(jīng)典問題完滿地得到解決，同時又產(chǎn)生更多的新問題。特別是二次大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從未間斷。教學(xué)呈現(xiàn)無比興旺發(fā)達(dá)的景象，而這正是人們在同數(shù)學(xué)中矛盾斗爭的產(chǎn)物。
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