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布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺(jué)的世界和感覺(jué)的世界是互相對(duì)立的，日常的語(yǔ)言屬于感覺(jué)世界，不屬于數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)獨(dú)立于語(yǔ)言存在，而邏輯是從屬于語(yǔ)言的，它不是揭露真理的工具，而是運(yùn)用語(yǔ)言的手段。正因?yàn)槿绱�，�?shù)學(xué)中最主要的進(jìn)展不是靠邏輯形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。
布勞威爾認(rèn)為邏輯規(guī)律并不對(duì)數(shù)學(xué)有什么約束作用，數(shù)學(xué)是自由的，不一定遵守什么邏輯規(guī)則。他認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來(lái)，沒(méi)有理由運(yùn)用到無(wú)窮集合。1908年，他反對(duì)把排中律運(yùn)用于無(wú)窮集合上，因?yàn)橛懈F集合可以逐個(gè)檢查，而無(wú)窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說(shuō)有既不可證明，又非得要證明的命題。
1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓?fù)鋵W(xué)的研究，他運(yùn)用單形逼近的方法證明了維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕@在數(shù)學(xué)上是個(gè)了不起的成就，是極重要的拓?fù)浞椒�。他在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過(guò)很快他又轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)研究。
布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認(rèn)為數(shù)學(xué)定理是先驗(yàn)綜合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大學(xué)就職演說(shuō)中，他承認(rèn)由于非歐幾何的發(fā)展，康德的空間學(xué)說(shuō)不可信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅(jiān)持康德的觀點(diǎn)，算術(shù)是從對(duì)時(shí)間的直覺(jué)導(dǎo)出的。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在算術(shù)基礎(chǔ)上的，所以整個(gè)數(shù)學(xué)也是如此。正是時(shí)間單位的序列產(chǎn)生序數(shù)的概念，而連續(xù)統(tǒng)[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認(rèn)為幾何學(xué)也依賴于這種直覺(jué)。他認(rèn)為除了可數(shù)集合之外，沒(méi)有其他集合，所以ω以上的超窮數(shù)都是胡說(shuō)八道，象
0與
1之間所有實(shí)數(shù)的集合是毫無(wú)意義的。這點(diǎn)他在1908年羅馬召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上講過(guò)，數(shù)學(xué)無(wú)窮集合只有一個(gè)基數(shù)，即可數(shù)無(wú)窮。
1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺(jué)主義的爭(zhēng)論焦點(diǎn)。1912年說(shuō)到這個(gè)問(wèn)題之后，他一直到1917年才又開(kāi)始這方面的論戰(zhàn)。從這時(shí)起到二十年代末他發(fā)表一系列的文章，開(kāi)始建立一個(gè)不依靠排中律的集合論，接著又建立構(gòu)造的測(cè)度論及函數(shù)論，這是他從消極的否定轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的構(gòu)造。同時(shí)他試圖使數(shù)學(xué)家相信排中律導(dǎo)出矛盾。他運(yùn)用了扇定理，這個(gè)定理及選擇序列、散集等是他的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的獨(dú)創(chuàng)。
三十年代初期由于哥德?tīng)柕墓ぷ�，許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義。外爾早在1920年左右就表示效忠于直覺(jué)主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺(jué)主義一些思想，開(kāi)始用有限主義方法來(lái)完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎(chǔ)問(wèn)題，不料沒(méi)能成功，于是還得求助于無(wú)窮。
直覺(jué)主義仍然進(jìn)行他們的事業(yè)，特別是海丁建立直覺(jué)邏輯系統(tǒng)，它包含古典邏輯系統(tǒng)。后來(lái)更有人建立直覺(jué)主義集合論及直覺(jué)主義分析。不過(guò)，仍然不能盡如人意。
1967年，美國(guó)數(shù)學(xué)家畢肖普出版《構(gòu)造性分析》一書(shū)，開(kāi)始了構(gòu)造主義的時(shí)期。他們不象以前直覺(jué)主義者那樣偏激，而是積極采用構(gòu)造的方法解決一個(gè)個(gè)具體問(wèn)題。不去單純的否定或爭(zhēng)論。畢肖普自信會(huì)取得大多數(shù)人的支持，不過(guò)沒(méi)有能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗麄儺吘钩删陀邢�，難于同整個(gè)數(shù)學(xué)汪洋大海相比，可是十幾年來(lái)構(gòu)造主義還是取得一定進(jìn)展，如《構(gòu)造性泛函分析》等書(shū)問(wèn)世，說(shuō)明它還有一定的市場(chǎng)。
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