第一章：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)
1.1 什么是數(shù)學(xué)危機(jī)
為了講清楚第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來(lái)龍去脈，我們首先要說(shuō)明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。一般來(lái)講，危機(jī)是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不在的、不可避免的，即便以確定無(wú)疑著稱(chēng)的數(shù)學(xué)也不例外。
數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，邏輯與直觀(guān)，具體對(duì)象與抽象對(duì)象，概念與計(jì)算等等。
在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。
矛盾的消除，危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā)展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。
人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)。從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過(guò)斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算——除法，否則許多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。但是接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題，是否所有的量都能用有理數(shù)來(lái)表示?于是發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)就導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而危機(jī)的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化。
方程的解導(dǎo)致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”。可是這種不實(shí)的數(shù)卻能解決實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得存在的權(quán)利。
幾何學(xué)的發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學(xué)也是如此。
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