要認(rèn)識到歐幾里得幾何不一定是物質(zhì)空間的幾何學(xué)，歐幾里得幾何學(xué)只是許多可能的幾何學(xué)中的一種。而幾何學(xué)要從由直覺、經(jīng)驗(yàn)來檢驗(yàn)的空間科學(xué)要變成一門純粹數(shù)學(xué)，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。雖說象蘭伯特等人已有這些思想苗頭，但是真正把幾何學(xué)變成這樣一門純粹數(shù)學(xué)的是希爾伯特。

這個(gè)過程是漫長的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨(dú)立地創(chuàng)立非歐幾何學(xué)，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨(dú)創(chuàng)。后人把羅氏幾何的無矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。這種利用“模型”和證明“相對無矛盾性”的思想一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中。而且這種把非歐幾何歸結(jié)到大家一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。

應(yīng)該指出，非歐幾何為廣大數(shù)學(xué)界接受還是經(jīng)過幾番艱苦斗爭的。首先要證明第五公設(shè)的否定并不會(huì)導(dǎo)致矛盾，只有這樣才能說新幾何學(xué)成立，才能說明第五公設(shè)獨(dú)立于別的公理公設(shè)，這是一個(gè)起碼的要求。

當(dāng)時(shí)證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因?yàn)楫?dāng)時(shí)大家都承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)沒有矛盾，如果能把非歐幾何學(xué)用歐幾里得幾何學(xué)來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點(diǎn)、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學(xué)中相應(yīng)的東西，公理和定理也可用相應(yīng)歐幾里得幾何學(xué)的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學(xué)的歐氏模型。

對于羅巴切夫斯基幾何學(xué)，最著名的歐氏模型有意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米于1869年提出的常負(fù)曲率曲面模型；德國數(shù)學(xué)家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數(shù)解釋的單位圓內(nèi)部模型。這些模型的確證實(shí)了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創(chuàng)立的橢圓幾何學(xué)，另外還可以推廣到高維空間上。

因此，從十九世紀(jì)六十年代末到八十年代初，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了非歐幾何學(xué)。盡管有的人還堅(jiān)持歐幾里得幾何學(xué)的獨(dú)特性，但是許多人明確指出非歐幾何學(xué)和歐氏幾何學(xué)平起平坐的時(shí)代已經(jīng)到來。當(dāng)然也有少數(shù)頑固派，如數(shù)理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認(rèn)非歐幾何學(xué)，不過這已無關(guān)大局了。

非歐幾何學(xué)的創(chuàng)建對數(shù)學(xué)的震動(dòng)很大。數(shù)學(xué)家開始關(guān)心幾何學(xué)的基礎(chǔ)問題，從十九世紀(jì)八十年代起，幾何學(xué)的公理化成為大家關(guān)注的目標(biāo)，并由此產(chǎn)生了希爾伯特的新公理化運(yùn)動(dòng)�！�