4.2連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的歷史最久，它可以說是隨著集合論一起產(chǎn)生的。1883年康托爾就提出了這個假設(shè)，可數(shù)無窮集的基數(shù)的后面就是連續(xù)統(tǒng)的基�？低袪柣水吷θプC明，但沒有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個問題的頭一個。希爾伯特本人也曾經(jīng)用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過證明的大綱，但終究未能成功。這個問題終究懸而未決。
1930年哥德爾完成了他的兩大貢獻(xiàn)以后，曾說過“現(xiàn)在該輪到集合論了”。他從1935年起就開始研究連續(xù)統(tǒng)假設(shè)及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。這一次他又出人意料地證明了ZF和GCH是協(xié)調(diào)一致的，不過當(dāng)然要假設(shè)ZF本身也是協(xié)調(diào)的，雖然這一點(diǎn)一直沒有得到證明。
哥德爾應(yīng)用可構(gòu)造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對無矛盾性，他用可構(gòu)造集的類L作為ZFC的模型。1963年7月，美國年輕數(shù)學(xué)家科恩發(fā)明了影響極為重大的力迫法，并證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定命題成立，這樣一來CH在ZF中既不能證明也不能否定。
4.3可構(gòu)成性公理
哥德爾證明選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)協(xié)調(diào)性的方法是定義一種類型的集合，叫做可構(gòu)成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構(gòu)成集合的概念來理解，那么集合論中的一些概念就會有相應(yīng)的改變。但是有一些概念不會改變，這種概念我們稱為絕對的，特別是可構(gòu)成性這個概念是絕對的。所以“一切集合是可構(gòu)成的”，這稱為可構(gòu)成性公理。
可構(gòu)成性的概念非常重要，表現(xiàn)在：
1、可構(gòu)成性公理與ZF的其他公理是協(xié)調(diào)的；
2、可構(gòu)成性公理蘊(yùn)涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理；
3、如果可測基數(shù)存在，則不可構(gòu)成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中證明可測基數(shù)的存在，蘊(yùn)涵整數(shù)不可構(gòu)成集合的存在性，后來他又證明可測基數(shù)的存在蘊(yùn)涵只有可數(shù)無窮多個整數(shù)的可構(gòu)成集合。
4.4 馬丁公理
馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象一個“真”的公理，但是由它可以推出數(shù)學(xué)上重要的結(jié)果。馬丁公理是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的推論，因此可以看成是弱連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。
馬丁公理在數(shù)學(xué)上有一系列的重要應(yīng)用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓?fù)鋵W(xué)問題也有類似情況。
4.5 大基數(shù)公理
連續(xù)統(tǒng)假設(shè)及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)反映了最理想的大基數(shù)產(chǎn)生的方法，也就是一個接一個由冪集的基數(shù)產(chǎn)生出來。但是，這種理想的情況現(xiàn)在還無法證明，而與它不同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數(shù)的存在性能得到更加特殊的結(jié)果，而且對數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生了不可忽視的影響。
雖然這些大基數(shù)極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。因此我們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數(shù)公理�？梢粤系竭@些大基數(shù)公理同原來的一些公理是矛盾的。比如，可構(gòu)造公理就蘊(yùn)涵可測基數(shù)不存在。
大基數(shù)公理對數(shù)學(xué)問題的重要性可以由下面問題的解決看出：拓?fù)鋵W(xué)中一個著名的幾十年末解決的正規(guī)莫爾空間猜想歸結(jié)為可測基數(shù)的存在問題，而象過去局限于ZFC系統(tǒng)的證明是沒有希望的。\
4.6決定性公理
決定性公理是與描述集合論密切相關(guān)的公理，它涉及到自然數(shù)列的集合是否能夠通過某種方法決定。
決定性公里的基本問題是：什么集合是可決定的？經(jīng)過許多人的努力，馬丁在1975年證明，數(shù)學(xué)中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個猜想是證明所有解析集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個猜想與哥德爾的可構(gòu)成性公理相矛盾。上面講過，可構(gòu)成性公理是與ZFC是相容的，因此這個猜想無法在集合論中證明。這樣一來，它本身可以成為一個新公理。
比這個公理更加激進(jìn)的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個公理太過激烈了，以致很難為“真”，因?yàn)樗紫韧x擇公理有矛盾。不過，由這個決定性公理卻能推出一系列有趣的數(shù)學(xué)事實(shí)；其中最突出的是，由它可推出所有實(shí)數(shù)集合都是勒貝格可測的。這樣一來，許多數(shù)學(xué)成為沒有意思的了。因此，數(shù)學(xué)家還是不太想要這個太強(qiáng)的公理。可是，它帶來的一系列問題仍有待解決。
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