第四章：哥德爾的發(fā)現(xiàn)—意想不到的結果

在數(shù)理邏輯的歷史上，哥德爾的工作起著承前啟后的作用。1928年希爾伯特在意大利波倫那召開的國際數(shù)學家大會上提出的四個問題，很快就被哥德爾原則上解決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數(shù)理邏輯開始了一個新的時代。

在這之前，數(shù)學家期望數(shù)學有一個既廣闊又嚴格的基礎，在這個基礎上數(shù)學家可以放心地去干他們愿意干的事。哥德爾的不完全性定理使這種想法破滅了。

悖論所造成的危機雖然可以暫時回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無希望的。從此之后，數(shù)學家只滿足于使用集合論一些最簡單的結果，而對更深入的數(shù)理邏輯與數(shù)學基礎問題則不那么關心注意了。

同時，由于哥德爾在證明中發(fā)展的一些技術，也使數(shù)理邏輯成為一門具有自己獨立技術和方法的數(shù)學分支�，F(xiàn)在的數(shù)理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證明論、遞歸論都已經(jīng)變得十分專門。就象代數(shù)拓撲學、算子代數(shù)、隨機過程等學科，對于非本行專家來說，簡直是難以理解的。