由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。以求速度為例，瞬時(shí)速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時(shí)的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個(gè)無(wú)窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭(zhēng)論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實(shí)際問(wèn)題，因此有些人就對(duì)這些基礎(chǔ)問(wèn)題的討論不感興趣。如達(dá)朗貝爾就說(shuō)，現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些，而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。

但也因此，微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；對(duì)無(wú)窮大的概念也不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性；符號(hào)使用的不嚴(yán)格性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開(kāi)始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開(kāi)始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

波爾查諾不承認(rèn)無(wú)窮小數(shù)和無(wú)窮大數(shù)的存在，而且給出了連續(xù)性的正確定義�？挛髟�1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開(kāi)始，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式。他抓住了極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開(kāi)及求和；狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的ε - δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。

十九世紀(jì)七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。

同時(shí)，威爾斯特拉斯給出一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。這個(gè)發(fā)現(xiàn)以及后來(lái)許多病態(tài)函數(shù)的例子，充分說(shuō)明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴(yán)格的概念及推理。由此，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)——實(shí)數(shù)論的問(wèn)題。這不僅導(dǎo)致集合論的誕生，并且由此把數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸結(jié)為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，而這正是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的首要問(wèn)題。