分形幾何是洞察事物結(jié)構(gòu)本質(zhì)的鑰匙

客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無(wú)窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少?gòu)?fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)�！� 

人們發(fā)現(xiàn)客觀事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热�測(cè)量。用尺來(lái)測(cè)量萬(wàn)里長(zhǎng)城，嫌太短；用尺來(lái)測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)。從而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事物沒(méi)有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無(wú)標(biāo)度性”的問(wèn)題。如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過(guò)大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng) ，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無(wú)標(biāo)度性”解決問(wèn)題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。

在20世紀(jì)70年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特在他的著作中探討了英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題這依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度�！�

分形幾何作為洞察事物結(jié)構(gòu)本質(zhì)的鑰匙，揭示的是一種復(fù)雜性之中的簡(jiǎn)單性，分?jǐn)?shù)維則被證明是一種合適的尺度。在某種意義上，分?jǐn)?shù)維對(duì)應(yīng)于不規(guī)則性填充空間的能力。一條歐幾里得的一維直線不占據(jù)任何空間，而以無(wú)限長(zhǎng)度充斥有限面積的科赫曲線，其外廓線卻占據(jù)了空間。它多于一根直線而又少于一個(gè)平面；它大于一維卻又不到二維。仔細(xì)觀察科赫曲線，它是以4／3倍乘無(wú)限擴(kuò)展開來(lái)，計(jì)算出來(lái)的維數(shù)大約是1．2618。
　　

愛因斯坦說(shuō)：“自然規(guī)律的簡(jiǎn)單性也是一種客觀事實(shí)，而且正確的概念體系必須使這種簡(jiǎn)單性功主觀方頂和客觀方面保持平衡�！焙�(jiǎn)單性原則總是科學(xué)發(fā)展的個(gè)種推動(dòng)力。問(wèn)題是過(guò)去不恰當(dāng)?shù)匕阉�和�?fù)雜性對(duì)立起來(lái)，用它來(lái)否認(rèn)事物的復(fù)雜性和整體性，結(jié)果導(dǎo)致簡(jiǎn)單化的傾向。 當(dāng)我們用相空間的軌線來(lái)描述系統(tǒng)的變化時(shí)，“無(wú)窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”指的就是這種運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何形態(tài)。

換句話說(shuō)，非整數(shù)維數(shù)給出了一個(gè)對(duì)混沌吸引子的識(shí)別依據(jù)。混沌吸引子是分?jǐn)?shù)維圖形，即在不斷被放大時(shí)可以顯示出越來(lái)越多的細(xì)節(jié)的圖形，從而揭示出混沌之中隱藏著的秩序，為在種種不同的復(fù)雜系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性開辟了道路。

分?jǐn)?shù)維形態(tài)對(duì)于混沌運(yùn)動(dòng)的描述是必不可少的。就象無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)多于有理數(shù)的道理一樣，非整數(shù)維給混沌運(yùn)動(dòng)的奇異軌道的構(gòu)型提供了充分的選擇余地。對(duì)于混沌，這種結(jié)構(gòu)不一定指它的實(shí)際形狀，而是指它的行為特征。

為檢驗(yàn)這種數(shù)學(xué)工具是否適當(dāng)，我們把模型的數(shù)值特征和真實(shí)事物相比較——例如，比較山巒的分形維數(shù)。然而，這還不夠，我們還要用計(jì)算機(jī)作圖以檢驗(yàn)這種數(shù)學(xué)工具是不是好。

事物是復(fù)雜的，但復(fù)雜性并非隨機(jī)性，也并非偶然性。分形理論發(fā)展了觀察客觀性新的思維方式，在那些令人望而生畏的復(fù)雜現(xiàn)象中，它發(fā)現(xiàn)并找到了如下規(guī)律性：

第一，無(wú)限自相激。如果想到埃菲爾鐵塔，你便會(huì)茅塞頓開。埃菲爾鐵塔是謝賓斯基討墊的三維類似物，它的小梁、構(gòu)架每大梁“不斷分”成構(gòu)件更紉的格式，精細(xì)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)渾然一體，這類尺度越來(lái)越紉的重復(fù)結(jié)構(gòu)完全展示了一個(gè)新天地。

第二，標(biāo)度無(wú)關(guān)性。當(dāng)曼德爾布羅特通過(guò)IBM計(jì)算機(jī)對(duì)一些貨物的價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行價(jià)格分析，他發(fā)現(xiàn)了令人詫異的情況。從正態(tài)分布偽觀點(diǎn)來(lái)看是反常的數(shù)據(jù)，從標(biāo)度的觀點(diǎn)來(lái)看卻出現(xiàn)了對(duì)稱牲。每個(gè)特殊的價(jià)格變化是偶然的和不可預(yù)測(cè)的，但變化的序列卻與標(biāo)度無(wú)關(guān)：每天價(jià)格變化的曲線和每月價(jià)格變化的曲線相當(dāng)吻合。更驚人的是，根據(jù)曼德爾布羅特的分析，價(jià)格變化的程度，竟在發(fā)生過(guò)兩次世界大戰(zhàn)和一次經(jīng)濟(jì)大蕭條的劇烈動(dòng)蕩的60年中保持不變。

第三，比例對(duì)稱。標(biāo)度無(wú)關(guān)性必然意味著比例對(duì)稱。在一種尺度上去尋找圖形（如海岸線），都是無(wú)規(guī)率的。但在不同尺度上同時(shí)去尋找圖形，我們卻找到了規(guī)律性，即不規(guī)則程度在不同尺度上重復(fù)疊合。這不是左右高低的對(duì)稱，而是大小比例的對(duì)稱。

對(duì)于歐幾里得幾何所描述的整形來(lái)說(shuō)，可以由長(zhǎng)度、面積、體積來(lái)測(cè)度。但用這種辦法對(duì)分形的層層細(xì)節(jié)做出測(cè)定是不可能的。曼德爾布羅特放棄了這些測(cè)定而轉(zhuǎn)向了維數(shù)概念。分形的主要幾何特征是關(guān)于它的結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性和復(fù)雜性，主要特征量應(yīng)該是關(guān)于它的不規(guī)則性和復(fù)雜性程度的度量，這可用“維數(shù)”來(lái)表征。

分形學(xué)研究對(duì)象的這種幾何特征是過(guò)去傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法所從未涉及的，它提出的方法，是從一個(gè)新的視角和新的思路來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界，它關(guān)注更多的是自然界的真實(shí)的常態(tài)，而不僅僅是有限種標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)和現(xiàn)象。這是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)更走近了一步。