大家知道，小水滴在高空中受到上升氣流的推動(dòng)，在云層中忽上忽下，越積越大并形成冰，最后突然落下來，變成冰雹。 

“冰雹猜想”就有這樣的意思，它算來算去，數(shù)字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下來，變成一個(gè)數(shù)字：“1”． 

　　這個(gè)數(shù)學(xué)猜想的通俗說法是這樣的：任意給一個(gè)自然數(shù)N，如果它是偶數(shù)，就將它除以2，即將它變成。對任意的一個(gè)自然數(shù)施行這種演算手續(xù)，經(jīng)有限步驟后，最后結(jié)果必然是最小的自然數(shù)1。 
　　對這個(gè)猜想，你不妨任意挑幾個(gè)數(shù)來試一試： 

若 N=9，則 9×3＋1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26， 26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，經(jīng)過19個(gè)回合(這叫“路徑長度”)，最后變成了“1”。

若 N=120，則120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，經(jīng)過20個(gè)回合，最后也仍然變成了“1”。

有一點(diǎn)更值得注意，假如N是2的正整數(shù)方冪，則不論這個(gè)數(shù)字多么龐大，它將“一落千丈”，很快地跌落到1。例如： N=65536=216 則有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

你看，它的路徑長度為16，比9的還要小些。 

我們說“1”是變化的最終結(jié)果，其實(shí)不過是一種方便的說法。嚴(yán)格地講，應(yīng)當(dāng)是它最后進(jìn)入了“ 1→4→2→1”的循環(huán)圈。這一結(jié)果如此奇異，是令人難以置信的。曾經(jīng)有人拿各種各樣的數(shù)字來試，但迄今為止，總是發(fā)現(xiàn)它們最后都無一例外地進(jìn)入“1→4→2→1”這個(gè)死循環(huán)。已經(jīng)驗(yàn)證的最大數(shù)目，已達(dá)到1099511627776。

由于數(shù)學(xué)這門科學(xué)的特點(diǎn)，盡管有了如此眾多的實(shí)例，甚至再試驗(yàn)下去，達(dá)到更大的數(shù)目，但我們?nèi)圆荒苷J(rèn)為“冰雹猜想”已經(jīng)獲得證明，因此還只能稱它為一個(gè)猜想。

（在我們所查閱的資料中，尚未見到對這一猜想的完整證明。）可想而知，要證明它或推翻它，都是很不容易的，要設(shè)法說出它的實(shí)質(zhì)，也似乎是難上加難。

不僅如此，對于“角谷猜想”，人們在研究過程中或作出了改動(dòng)，或進(jìn)行了推廣，得出的結(jié)果同樣富有奇趣。比如，對于“角谷猜想”若作如下更動(dòng)：
　　任給一個(gè)自然數(shù)，若它是偶數(shù)，則將它除以2；若它是奇數(shù)，則將它乘以3再減1．……如此下去，經(jīng)過有限次步驟運(yùn)算后，它的結(jié)果必然毫無例外地進(jìn)入以下三個(gè)死循環(huán)： 

①1→2→1；②5→14→7→20→10→5； 
　�、�17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17． 
　　親愛的讀者，你能對它們作出證明嗎？更進(jìn)一步，你能作出新的發(fā)現(xiàn)，為數(shù)學(xué)這個(gè)百花園增添新的奇光異彩嗎？