畢達哥拉斯派與形數(shù)

在畢達哥拉斯派看來，數(shù)字是點或微粒。他們提到三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)時，想到的是點集、晶狀體或點狀物體。如左下圖的五邊形數(shù)和右下圖的六邊形數(shù)。

雖然歷史片斷沒有提供精確的年代數(shù)據(jù)，這一點卻是無疑的，即畢達哥拉斯學派發(fā)展并完善了自己的認識。他們開始把數(shù)字理解為抽象概念，而物體只不過是數(shù)字的具體化。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛勞斯(Philolaus)的論述：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解 ……。”

一. num = △+△ +△

1796年7月10日, 數(shù)學家高斯在日記中寫道：ErPHKA! num = △+△+△ 。這里ErPHKA 是希臘文“發(fā)現(xiàn)” 或“找到”的意思，高斯的引用了當年阿基米德發(fā)現(xiàn)浮力定理時說的話，可見他興奮心情。高斯到底發(fā)現(xiàn)了什么? 什么使他如此興奮? 原來他找到了“自然數(shù)可表示為三個三角形數(shù)之和” 的證明（num 為數(shù)的縮寫，△表示三角形數(shù)）。

據(jù)說此前法國數(shù)學家費馬曾猜測：每個自然數(shù)皆可用k個k角形數(shù)和表示。對于四角形數(shù)的問題, 我們稍后再談1831年法國數(shù)學家柯西在巴黎科學院宣讀了他的論文, 論文給出自然數(shù)皆可用k個k角形數(shù)和表示的證明。

二. 自然數(shù)表為四角形數(shù)問題

早在公元3世紀前后，數(shù)學家丟番圖曾猜測自然數(shù)皆可用四個四角形數(shù)（即完全平方數(shù)和）表示。其實， 許多自然數(shù)只須用兩個完全平方數(shù)和便可表示（如5 = 1² + 2²， 8 = 2² + 2² 等等)，但有些不行（像3，6，7 等等），是費馬首先認識到質(zhì)數(shù)（除2之外）皆有4k+1 或4k+3形狀，而后他發(fā)現(xiàn)了：4k+1 型質(zhì)數(shù)皆可表為兩完全平方數(shù)和形式(雙平方和定理)。

該定理于1754年由數(shù)學大師歐拉給出證明（1977年拉森L. C. Larson）用圖論的方法即“n后問題” 解法亦給出該定理的一個漂亮證明）。

此后勒讓德在其所著的“數(shù)論”書中又指出：4m（8n+7）型整數(shù)必須用四個完全平方數(shù)和表示。

自然數(shù)表為四個完全平方數(shù)和問題曾引起不少人的興趣, 1621年法國人巴契特（Bachet）從1驗算到325未發(fā)現(xiàn)例外。據(jù)稱笛卡兒也試圖探討該問題，然而之后他意識到“它實在太難了!”

這個等式是說：能表示成四個完全平方數(shù)和的兩數(shù)之積亦可用四個完全平方數(shù)和表示。如此一來, 對于整數(shù)表為四平方和問題的研究, 可轉(zhuǎn)化為質(zhì)數(shù)表為四完全平方數(shù)和的問題（相對容易了）。

1770年, 數(shù)學家拉格朗日依據(jù)歐拉的上述發(fā)現(xiàn), 給出了“自然數(shù)可表示為四個完全平方數(shù)之和” （四平方和定理）的第一個完整證明。

1773年, 已經(jīng)雙目失明的66歲的歐拉, 也給出該結(jié)論的另一證明。

大約100年后, 德國數(shù)學家雅各比又給出另外一種證法。

順便指出: 四平方和定理中允許相同數(shù)字平方和出現(xiàn), 如果要求四完全平方數(shù)皆相異或互質(zhì), 結(jié)論將是另一番情形。

圖蘭首先發(fā)現(xiàn): 自然數(shù)表示成兩兩互質(zhì)的整數(shù)平方和時， 四個則不夠（比如8k或6k+5 型自然數(shù)便如此）。

鮑赫曼等又發(fā)現(xiàn): 當n ≤ 188 時, 有31個自然數(shù)n 不能用四個相異的完全平方數(shù)和表示。且他們同時證明了: n > 188 時, n 皆可用五個彼此不同的完全平方數(shù)和表示。

四. 華林(E. Waring) 問題

人們完成的自然數(shù)表為四角形數(shù)即完全平方數(shù)和問題后, 開始把目光集中到它的推廣即自然數(shù)用完全立方數(shù)、四次方數(shù)、五次方數(shù)、……和表示問題。

1782年華林在其所著 “代數(shù)沉思錄”中提出，自然數(shù)可用9個完全立方數(shù)和、19個四次方數(shù)和、……表示, 人稱“華林問題”。

為了方便起見我們用g（k） 表示任意自然數(shù)可用k次方數(shù)和表示的最少個數(shù), 則華林問題便是欲證g（3）=9，g（4）=19 等。

對于g（3）問題，1939年迪克森（L. E. Dickson）指出：除23和239（這也是雅谷比開列的自然數(shù)表成立方數(shù)和表中, 兩個須用9個立方數(shù)和表示的數(shù)）外，自然數(shù)皆可表為8個立方數(shù)和。

而后，朗道（E. G. H. Landau）又指出: 從某個充分大的N 起, 自然數(shù)皆可表為7個立方數(shù)和（這類充分大的n 的表示問題, 人們又用G（k）表記，如是朗道證明了G（3）= 7）。1909年威弗利茨（A. Wieferch）嚴格證明了g（3）=9。

對于g（4）問題的研究，法國數(shù)學家柳維爾（J. Liouville）曾證明g(4)≤53。接著他又將自然數(shù)n 表為6x+r（r=0，1，2，3，4，5）形式。由于任何x 皆可表示四個完全平方數(shù)和， 即x=a²+b²+c²+d²，同時a，b，c，d 也有類似表示：a=a21+a22+a23+a24，b=b21+b22+b23+b24， c= c21+c22+c23+ c24，d= d21+d22+d23+d24，將它們代入6x=6（a²+b²+ c²+ d²）再注意到柳維爾的等式知，6x至多只須6×8=48個四次方數(shù)和表示。又r = 0，1，2，3，4，5 中至多只須用5個四次方數(shù)和表示。如是，n至多只須48+5=53個四次方和表示。

之后, 威弗利茨將g（4）改進到37。

英國數(shù)學家哈代又證明：對于充分大的n，g（4）= 19, 即G（4）= 19。

1939年戴維鮑特（Davenport）證明了G(4) = 16。

1986年四位美國數(shù)學家聯(lián)手證得g（4）= 19。至此華林問題獲解。

對于一般的g（k）問題, 1908年希爾伯特曾證得: 對于任何k 來講，g（k）均為有限。但對于g（5），g（6），. . .，g（k）等的估計一直不詳，僅獲局部結(jié)果，如陳景潤曾證得g（5）= 37 等。