“數(shù)”的研究一直是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最主要的任務(wù)。

什么是親和數(shù)？

親和數(shù)是這樣一對(duì)正整數(shù)a和b，使得a的所有真因子的和等于b，而b的所有真因子的和等于a。親和數(shù)問題最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)和研究的。他們?cè)谘芯繑?shù)字的規(guī)律的時(shí)候發(fā)現(xiàn)有以下的性點(diǎn)的兩個(gè)數(shù)：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284      1+2+4+71+142=220 ，就是220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它們的和是284；284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。這是最早發(fā)現(xiàn)的一對(duì)親和數(shù)，也是最小的一對(duì)親和數(shù)。

考慮到1是每個(gè)整數(shù)的因子，把除去整數(shù)本身之外的所有因子叫做這個(gè)數(shù)的“真因子”。如果兩個(gè)整數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)的真因子的和都恰好等于另一個(gè)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)，就構(gòu)成一對(duì)“親和數(shù)”。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者還注意到整數(shù)48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，這8個(gè)數(shù)都是48的因子，這些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它們的和又恰好是48。48與75這一對(duì)數(shù)叫做“半親和數(shù)”。不難驗(yàn)算出140與195也是一對(duì)半親和數(shù)。

更有趣的親和鏈

更有趣的是人們還發(fā)現(xiàn)了親和鏈：2115324，3317740； 3649556，2797612。就是第一個(gè)數(shù)的因子之和是第二個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)的因子之和是第三個(gè)數(shù)……第四個(gè)數(shù)的因子之和又恰好是第一個(gè)數(shù)，它們是一個(gè)四環(huán)親和鏈。一些構(gòu)成親和鏈的數(shù)，只要給出其中的一個(gè)，便可以計(jì)算出其他的數(shù)。如12496與其他四個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)五環(huán)親和鏈。有計(jì)算器的讀者不妨試算一下，補(bǔ)上其余的四個(gè)數(shù)。

對(duì)親和數(shù)有興趣的人

大約在公元9世紀(jì)，杰出的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家本·科拉建立了一個(gè)有名的親和數(shù)公式：

設(shè)a=3*2^x-1，b=3*2^x-1-1，c=9*2^(2x-1)-1， 這里x是大于1的自然數(shù)，如果a、b、c全是素?cái)?shù)的話，那么2^x*ab與a^x*c。便是一對(duì)親和數(shù)。

例如，當(dāng)x=2時(shí)，我們不難算出a=11，b=5，c=71，它們?nèi)�都是素�(cái)?shù)，所以 

2^x*ab=2²*11*5=220；  2^x*c=2²*71=284。

后來的人們對(duì)親和數(shù)研究一直保持著極大的興趣，特別是大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬、笛卡兒和歐拉等都曾經(jīng)研究過親和數(shù)。1636年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)了第二對(duì)親和數(shù)，它們是17962與18416。1638年笛卡兒給出了第三對(duì)親和數(shù)。第三對(duì)和第四對(duì)親和數(shù)，即17926與18416及9363548與94375O6。

要數(shù)對(duì)親和數(shù)的做過比較深入研究和為尋找親和數(shù)花了很多功夫的人應(yīng)當(dāng)是瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉。1747年大數(shù)學(xué)家歐拉一下子找出了30對(duì)，3年后，1750年歐拉向公眾宣布了另外的30對(duì)親和數(shù)，這樣親和數(shù)的數(shù)量又增加到了62對(duì)，并給出了一個(gè)有62對(duì)親和數(shù)表。這樣大的進(jìn)展真的給人們一個(gè)大的驚喜。可是這樣一來，人們反倒覺得既然大數(shù)學(xué)家歐拉都已經(jīng)研究過親和數(shù)了，而且他一個(gè)人就發(fā)現(xiàn)了60對(duì)親和數(shù)。歐拉算出了長達(dá)幾十位、天文數(shù)字般的親和數(shù)，那么應(yīng)該能夠計(jì)算的數(shù)可能都被歐拉找出來了，肯定不會(huì)有什么遺漏。

但是，讓人沒有想到的是，除去最小的220與284之外，另一對(duì)親和數(shù)1184與1210竟然被歐拉和另外幾位數(shù)學(xué)大師都漏過了。這對(duì)親和數(shù)是在一百多年之后，當(dāng)“親和數(shù)”的話題不那么熱了，似乎已被世人淡忘的時(shí)候，1886年一個(gè)16歲的意大利男孩帕加尼尼發(fā)現(xiàn)這對(duì)親和數(shù)，如果把親和數(shù)按從小到大的順序排列，那么這個(gè)少年發(fā)現(xiàn)的親和數(shù)是排在第二位。這也可以說明一個(gè)現(xiàn)象，就是“百密一疏”，被漏過的恰恰是近在第一對(duì)親和數(shù)身旁的第二對(duì)1184與1210，最容易的反倒是被人忽略了。

對(duì)于親和數(shù)的性質(zhì)我們知道的還不多，能否用一個(gè)公式求出所有的親和數(shù)也不清楚。但是隨著計(jì)算機(jī)的性能不斷地提高，利用計(jì)算機(jī)計(jì)算親和數(shù)要比過去容易得多，可以找出更多的親和數(shù)。

目前已經(jīng)知道的有1000多對(duì)親和數(shù)，而10000以內(nèi)的只有5對(duì)，在100000以內(nèi)有13對(duì)，它們是：220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368、10744和10856、12285和14595、17296和18416、63020和76084、66928和66992、67095和71145、69615和87633、79750和88730。

在13對(duì)親和數(shù)中，要么是偶數(shù)對(duì)，要么是奇數(shù)對(duì)，沒有一奇數(shù)一偶數(shù)的，而且偶數(shù)的居多，奇數(shù)只有3對(duì)。后來的兩千年內(nèi)雖然對(duì)親和數(shù)仍然也進(jìn)行過一些的有意義研究，但是一直沒有發(fā)現(xiàn)新的親和數(shù)。

親和數(shù)到底是有限對(duì)還是無限對(duì)呢？到底有沒有奇偶對(duì)呢？有沒有一般公式呢？這些問題到現(xiàn)在還沒有解決，等待人們?nèi)パ芯刻剿鳌?/p>