典型的是，對(duì)于20世紀(jì)出現(xiàn)的兩次物理學(xué)革命——廣義相對(duì)論和量子物理學(xué)，數(shù)學(xué)都為它們的誕生事先準(zhǔn)備好適當(dāng)?shù)墓ぞ�。更具體地講，那就是黎曼幾何學(xué)和泛函分析。這就不由得令物理學(xué)家威格驚呼“數(shù)學(xué)的不可思議的有效性”（威格納 E·Wigner，1902—1995，是1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的獲得者）。其實(shí)這只不過(guò)是“新數(shù)學(xué)”鋒芒小試而已，以后這類(lèi)事還多著呢！

隨便舉兩個(gè)例子：一個(gè)是群論在分子原子結(jié)構(gòu)理論中的應(yīng)用，一個(gè)是纖維叢在規(guī)范場(chǎng)理論中的應(yīng)用，只不過(guò)它們都不在M·克萊因的論述范圍之內(nèi)。細(xì)心的讀者會(huì)注意到《西方文化中的數(shù)學(xué)》止于非歐幾何(第26章)，而狹義相對(duì)論(第27章)用的還是經(jīng)典數(shù)學(xué)�？墒窃凇稊�(shù)學(xué)與知識(shí)的探求》中，他已經(jīng)推進(jìn)到廣義相對(duì)論和量子力學(xué)，而且就此止步。正如《古今數(shù)學(xué)思想》一樣，他的時(shí)限設(shè)在1930年。對(duì)于這之前的數(shù)學(xué)與物理，這本書(shū)做了十分精彩的哲學(xué)概括。這些思想實(shí)際上已經(jīng)深入到我們心中，成為我們認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)。

1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（H. Minkowski，1864－1909）提出“閔可夫斯基空間”，為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論提供了合適的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯基時(shí)空模型后，愛(ài)因斯坦又進(jìn)一步研究引力場(chǎng)理論以建立廣義相對(duì)論。 

 在廣義相對(duì)論中，愛(ài)因斯坦 (Einstein, 1879－1955) 使用了黎曼幾何和能量計(jì)算。但是，這些智力工具并非是為物理學(xué)而建立的，它早已在純數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展起來(lái)。這類(lèi)工具的出現(xiàn)早于愛(ài)因斯坦使用它們的時(shí)候。黎曼(Riemann, 1826－1866) 引進(jìn)了現(xiàn)在稱(chēng)為黎曼微分幾間的數(shù)學(xué)理論，在黎曼空間中，人們可以計(jì)算各種距離，可以有各種曲率的概念。人們習(xí)慣于把能量計(jì)算同里奇 (Ricci, 1853－1925) 的名字聯(lián)系起來(lái)，利用它可以處理各種幾何量及其在坐標(biāo)變換下的變化。張量計(jì)算變得為人熟知?jiǎng)t是由于愛(ài)因斯坦把它用于1916年發(fā)表的廣義相對(duì)論中。愛(ài)因斯坦是從格羅斯曼 (Grossman, 1878－1936) 那里學(xué)到這種技術(shù)的。

另一個(gè)例子是在希爾伯脫空間中有關(guān)自軛變換的譜分裂的理論。這個(gè)理論的重要部分，即連續(xù)自軛算符的理論，是希爾伯脫 (Hilbert, 1862－1943) 以純數(shù)學(xué)理論的形式建立的，它也不是從物理觀測(cè)中得出的，但它們對(duì)于表述量子定律是必需的。

第三個(gè)例子是理論物理中的弦理論。在這個(gè)理論中，人們不止一次地用到抽象的和新發(fā)展的數(shù)學(xué)理論。威格納（Wigner）寫(xiě)道：數(shù)學(xué)的巨大用途有些近乎神秘，不存在任何合理的解釋。正是數(shù)學(xué)概念的這些令人吃驚的用途激發(fā)了統(tǒng)一我們的物理理論的要求 [Wigner 1960:2]。我們還可援引戴森 (Dyson) 的話：對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)不僅是用以計(jì)算各種現(xiàn)象的工具，而且還是使新理論得以建立的概念和原理的主要源泉 [Dyson 1968]。

不過(guò)，數(shù)學(xué)家并不總是成功的。按照戴森的說(shuō)法，數(shù)學(xué)家曾多次錯(cuò)過(guò)推進(jìn)科學(xué)的機(jī)會(huì)[Dyson 1972]。例如，麥克斯韋（Maxwell，1831－1879）方程發(fā)表于1873年，它為數(shù)學(xué)家提供了極其有意義的工作領(lǐng)域, 但卻沒(méi)有受到足夠重視。如果他們立即著手研究這個(gè)問(wèn)題，他們也許會(huì)比愛(ài)因斯坦早幾十年發(fā)現(xiàn)相對(duì)論。

這個(gè)大膽的斷言是基于如下的概念：麥克斯韋方程在某種變換群下形式不變。這個(gè)群一般說(shuō)來(lái)是數(shù)學(xué)的重要課題。麥克斯韋方程在洛侖茲群下是不變的，而牛頓力學(xué)的方程則是在另一種群即伽利略 群下不變的。人們發(fā)現(xiàn)，洛侖茲群比伽利略群在數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)單，更優(yōu)雅。假如人們?cè)缛パ芯窟@個(gè)群的數(shù)學(xué)性質(zhì)，他們也許會(huì)發(fā)現(xiàn)狹義相對(duì)論。