| 畢達(dá)哥拉斯經(jīng)過(guò)反復(fù)的試驗(yàn)，終于初步發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)的奧秘，歸結(jié)出畢達(dá)哥拉斯的琴弦律： （1）當(dāng)兩個(gè)音的弦長(zhǎng)成為簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，同時(shí)或連續(xù)彈奏，所發(fā)出的聲音是和諧悅耳的；
（2）兩音弦長(zhǎng)之比為4:3，3:2及2:1時(shí)，是和諧的，并且音程分別為四度、五度及八度。
也就是說(shuō)，如果兩根繃得一樣緊的弦的長(zhǎng)度之比是 2 : 1, 同時(shí)或連續(xù)彈奏，就會(huì)發(fā)出相差八度的諧音; 而如果兩條弦的長(zhǎng)度的比是 3 : 2時(shí), 就會(huì)發(fā)出另一種諧音，短弦發(fā)出的音比長(zhǎng)弦發(fā)出的音高五度;
等等。
物理學(xué)家伽利略(1564-1642)發(fā)現(xiàn)弦振動(dòng)的頻率跟弦長(zhǎng)成反比。因此，我們可以將畢達(dá)哥拉斯所采用的“弦長(zhǎng)”改為“頻率”來(lái)定一個(gè)音的高低。從而畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)就是：兩音的頻率比為1:2，2:3及3:4時(shí)，分別相差八度、五度及四度音。例如，頻率為200與300的兩音恰好相差五度音。
單弦琴 
畢達(dá)哥拉斯音律是弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)單整數(shù)比。聲音透過(guò)一些簡(jiǎn)單而固定的比例，形成令人喜悅的和諧音樂(lè)，這就是一種特別的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。不僅如此，和諧的比例還貫穿于整個(gè)藝術(shù)、大自然和人生之中。畢達(dá)哥拉斯的門徒們相信星球距離地球也成簡(jiǎn)單整數(shù)比，它們繞地球運(yùn)行時(shí)會(huì)發(fā)出美妙的球體音樂(lè)。
二 樂(lè)譜上的分?jǐn)?shù)
在樂(lè)譜中, 我們可以找到拍號(hào)、 單純音符、附點(diǎn)音符等，莫不與分?jǐn)?shù)息息相關(guān)。譜寫樂(lè)曲要使音符適合于每音節(jié)的拍子數(shù),這實(shí)質(zhì)是分?jǐn)?shù)求和的過(guò)程——在一個(gè)固定的拍子里,不同時(shí)值的音符必須使它湊成一個(gè)特定的節(jié)拍。
在每一首樂(lè)曲的開頭部分，我們總能看到一個(gè)分?jǐn)?shù)，比如4/4,3/4
，或6/8等，這些分?jǐn)?shù)是用來(lái)表示不同拍子的符號(hào)，即拍號(hào)。其中分?jǐn)?shù)的分子表示每小節(jié)中單位拍的數(shù)目，分母表示以幾分音符為一拍。如 ，4/4表示以四分音符為一拍，每小節(jié)4拍。拍號(hào)一旦確定，那么每小節(jié)內(nèi)的音符就要遵循由拍號(hào)所確定的拍數(shù)，這可以通過(guò)數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)加法法則來(lái)檢驗(yàn)。比如，就符合由拍號(hào)4/4和3/4分別所確定的拍數(shù)。因?yàn)?/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;
而不符合由拍號(hào)4/4和3/4分別所確定的拍數(shù)，因?yàn)?nbsp;
1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。這些看似簡(jiǎn)單的要求正是音樂(lè)作曲的基礎(chǔ)。
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