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但是，談起２０世紀的數(shù)學，我想，至少應該記住三個人的名字：龐加萊、希爾伯特和馮·諾伊曼，他們是２０世紀最有影響的數(shù)學家。龐加萊是非線性數(shù)學（如現(xiàn)代時髦的渾沌理論）的奠基人以及當代數(shù)學女王——拓撲學的創(chuàng)建者。馮·諾伊曼被稱為“計算機之父”和現(xiàn)代計算數(shù)學的奠基人，而數(shù)理經(jīng)濟學和對策論（一譯博奕論）也由他首先取得突破的。而對２０世紀主流數(shù)學——結(jié)構(gòu)數(shù)學有巨大影響的當屬希爾伯特�！�
希爾伯特通過兩條途徑對２０世紀數(shù)學施加影響：一條是通過自己遍及數(shù)論、代數(shù)、幾何、分析以及數(shù)學基礎的工作，一條是通過提出并研究數(shù)學前沿的問題指出未來數(shù)學發(fā)展的方向。他之所以能做到這點，除了他的天才和格廷根的優(yōu)美環(huán)境之外，就要歸結(jié)為他的獻身精神——熱愛數(shù)學、學習數(shù)學的熱望，不斷地去深入理解數(shù)學的任何一個部門�？傊箶�(shù)學成為生活中不可或缺的東西。筆者在格廷根的檔案館中發(fā)現(xiàn)他的記錄和筆記中，有一部分是他取得博士學位以后，訪問國內(nèi)國外知名數(shù)學家的記錄；另有三大本筆記，詳細記錄他提出的各種問題以及對各種問題的思考；而他在１９００年８月８日關于《數(shù)學問題》的報告顯然不是急就章，而是長年思考積累的結(jié)果。
希爾伯特的報告不是大會報告，而是數(shù)學史組的分組報告，從這個意義上來講，那時人們的確重視科學發(fā)展的歷史，而也正是這種重視歷史的心態(tài)，才使這些最偉大的數(shù)學家成就其歷史的偉業(yè)。從另外一個意義上來講，希爾伯特的２３個問題是一個繼往開來的文獻，說它繼往，是它總結(jié)了１９世紀幾乎所有未解決的重要問題；說它開來，是這些問題的確推動了２０世紀數(shù)學的進步。因此各數(shù)學大國，美國、前蘇聯(lián)、日本以及法國、德國和英國的數(shù)學家或組織起來或單獨研究希爾伯特問題的歷史和現(xiàn)狀，并進一步提出新的問題。這里我們也極簡單地概括一下，欲知其詳，則有待于專著的問世。
希爾伯特的２３個問題分屬四大塊：第１到第６問題是數(shù)學基礎問題；第７到第１２問題是數(shù)論問題；第１３到第１８問題屬于代數(shù)和幾何問題；第１９到第２３問題屬于數(shù)學分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點放在數(shù)學基礎上，他自己的工作也正為締造數(shù)學大廈牢固的基礎而努力。從１９世紀末希爾伯特已致力把數(shù)學建立在少數(shù)公理的基礎上。他還是集合論最早的少數(shù)支持者之一，把數(shù)學建立在集合論基礎上成為他的夢想。這可以解釋他為什么把集合論頭號問題——連續(xù)統(tǒng)假設列為自己的第１問題。
希爾伯特通過自己的工作包括他的基礎問題對于２０世紀數(shù)理邏輯的發(fā)展起了決定性的影響。但是希爾伯持的綱領卻由于哥德爾１９３０年的不完全性定理而不能實現(xiàn)，從此數(shù)理邏輯走向獨特的發(fā)展道路。從新的觀點看，第１、第２以及第１０問題屬于數(shù)理邏輯的范圍，第３、第４、第５、第６屬于較為具體的學科。從某種意義來講，這些問題可以說都在不同程度上得到解決。
數(shù)論這一塊是希爾伯特本人在１９００年之前最為關注的領域，他本人的工作對這領域的發(fā)展也有決定性的影響。出乎他本人的預料，第７問題在他在世時已經(jīng)解決，而第８問題的黎曼猜想?yún)s至今還距離完全解決尚遠，成為未來世紀數(shù)學家的頭號難題。由第１２問題衍生出的朗蘭茲（ＬａｎｇＬａｎｄｓ）綱領，更是遠未解決，而其它４個問題可以說已經(jīng)基本解決。
�。玻笆兰o的代數(shù)學已由方程論和不變式論發(fā)展為抽象代數(shù)學或近世代數(shù)學，這條發(fā)展路線雖然同希爾伯特問題關系不大，但的確是在希爾伯特本人工作的影響之下發(fā)展起來的。１３、１４和１７這三個代數(shù)問題可以說基本解決，它們也給２０世紀數(shù)學帶來新的方向。幾何的三個問題中，第１５問題對于代數(shù)幾何學的嚴格化有重要影響，而代數(shù)幾何學在２０世紀是一門對各方面都有巨大影響的主流學科，它的基礎已經(jīng)建立在交換代數(shù)學的基礎上。與此相反，１６問題前半的實代數(shù)幾何學進展不大，盡管希爾伯特的問題有很大進步。１６問題后半的極限環(huán)問題經(jīng)過一個世紀的努力可以說進展甚微，具體講每一個重要進展在多年之后都發(fā)現(xiàn)不對。１８問題共有三問，前兩問已經(jīng)圓滿解決，而第三問則發(fā)展成一個十分活躍的領域，特別是開普勒（就是發(fā)現(xiàn)行星運動的三定律的那位）猜想終于在本世紀結(jié)束之前完全證明。
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希爾伯特的５個分析問題，可以說都基本解決。希爾伯特從１９００年起研究分析，特別是狄式原理和積分方程直接推動偏微分方程和泛函分析的發(fā)展�？傊柌兀玻硞�問題有４個問題仍是下世紀的大問題（第８、第１２、１６Ｂ、１８Ｃ），而其他問題則應在基本解決的基礎上提出更多更新的問題。
回顧一個世紀數(shù)學的發(fā)展，我們的確可以看到希爾伯特通過他自己的工作和提出的問題，把２０世紀數(shù)學帶上一條健康發(fā)展的道路。當然，即使像希爾伯特這樣的數(shù)學巨人，也自然會有他的局限性。他基本上沒有涉及龐加萊的組合拓撲的工作，Ｅ·嘉當關于李代數(shù)的工作以及黎曼幾何與張量分析和群表示論的研究。但是，他的工作和他的問題同２０世紀特別是上半世紀一半以上的數(shù)學研究有聯(lián)系。
而到２０世紀末，數(shù)學已發(fā)展成如此龐大的領域，已經(jīng)找不到一個人來提出全面數(shù)學問題的清單，他的工作需要幾十人來代替。這些領袖人物雖然不像希爾伯特那樣廣博，但決不是狹窄領域的專家，他們都多少繼承希爾伯特的基因，在學科交叉上看到數(shù)學未來的前沿。而這正預示著下一世紀數(shù)學輝煌的前景，也是解決老問題，提出新問題的關鍵所在�！�
希爾伯特的２３個問題簡介
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