同時這樣決定了，對你以后的成就也會有很大的影響。

我覺得最不好的就是你對數(shù)學(xué)有興趣，卻為了賺錢就跑到其他科目，其實你也不見得賺得到錢。這是講你的決心要下得很大，不要三心二意，“讓我念念看，假如不行的話再轉(zhuǎn)”，很多人是這個樣子，尤其是中國學(xué)生，進(jìn)了大學(xué)再試試；看嘛，這兒不行就轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，最后搞得兩邊都不如愿，很多人是這個樣子，為什么一定要這樣?

這是決心的問題，一個很重要的決定，就是你進(jìn)數(shù)學(xué)系時，你預(yù)計要做什么事情，對我自己來講，我很早就下了決心我要念數(shù)學(xué)，所以從來沒有想過要轉(zhuǎn)其他的或是為了其他事情不念數(shù)學(xué)。

你決定了以后，你要懂得數(shù)學(xué)有很多不同門，就是分支，你在大學(xué)，對每一門分支的了解可能差得遠(yuǎn)。就是講你很難在大學(xué)里就決定對數(shù)學(xué)里哪一門興趣大一點。

其實興趣和你懂得的學(xué)問是有關(guān)系的，因為你可能對某件東西有興趣，不過你不曉得它時，你就不可能對它有興趣。譬如你去爬山，你爬過了小山才看得到大山，你還沒有看到后面的山以前，就不可能對后面的山有興趣，所以所謂興趣和你了解多少是一種非線性的關(guān)聯(lián)。

這個興趣和你當(dāng)時的地理環(huán)境有關(guān)系，跟當(dāng)時的時間也很有關(guān)系，就是和當(dāng)時的時空關(guān)聯(lián)很大。譬如來講，因為你剛好在臺灣，你旁邊的教授若是單做那一行的，你對其他行就不見得曉得。就整個世界來講，雖然你剛好走到某個地方，也許時間剛好不對，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對這一方面興趣不大，對其他問題興趣大一點，并不表示其他問題就不重要。所以數(shù)學(xué)家對整個數(shù)學(xué)的了解，跟時空有關(guān)，興趣也會跟這個有關(guān)。

我覺得一個年輕的學(xué)生，首先要開放心胸，就是講你要曉得，你念的學(xué)科，有很多時候跟其他的學(xué)科關(guān)系很大，不要以為我念的這門學(xué)科跟其他的完全無關(guān)，其他的就不念了。例如很多學(xué)生，說對某些文學(xué)課有興趣，凡跟這門文學(xué)沒，有關(guān)系的，就不再想去念它。比如講我對泛函分析有興趣，跟泛函分析關(guān)系不大的，就算有一點關(guān)系我也不想去看，這是一個錯誤的觀念。其實泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理論有關(guān)。大學(xué)是一個通才教育，就算你單對代數(shù)有興趣，除了代數(shù)要懂以外，對微積分也要懂，其實微積分對代數(shù)也有很大的影響。所以基本上大學(xué)所能提供的課程，我覺得你們年輕人都應(yīng)該去學(xué)，不單要學(xué)，而且要盡量學(xué)好。

基礎(chǔ)打好，對研究幫助很大

很難想像有什么大學(xué)課程在研究院是不重要的，你在大學(xué)里念的每一門課，和以后研究都有很大的關(guān)系，我想關(guān)系是絕對有的，就算在研究院里一兩年的課，我想對你以后的研究也是有很大的好處的，所以應(yīng)該盡量將基礎(chǔ)打好。其實到你真的做研究時，你會發(fā)現(xiàn)你需要很多工具，很不幸，很多東西你在念大學(xué)、念研究院時沒有好好地念好。到了念博士那個時候，你常常要趕寫論文什么的，你發(fā)現(xiàn)工具已不夠，要花很多時間去念，工具不夠又不想去念，你就很麻煩。畢業(yè)拿個博士以后，你又有很多不同的其他壓力，臺灣比較少，至少在美國是很大的，你要盡量發(fā)表文章，一下子沒有那么多時間將那門工具重新再念過。一所以念大學(xué)跟研究院那兩年的時候，要盡量將所有基本工具全部念懂，我想這是很有必要的。

譬如來講，我很多朋友是代數(shù)幾何做得很好，可是需要用到分析做工具時，他們就覺得很怕，反過來講，分析念得很好，可是需要代數(shù)時就很怕。不過我覺得一個好的數(shù)學(xué)家，至少要懂得兩門以上的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)題目來的時候不會恐懼，才能很活躍地做一個好研究。

一門學(xué)科你要念到什么地步?你自己要曉得。就是講你遇到一個研究課題的時候，你雖然不見得能夠解決掉，至少你要曉得你可以坐下來對這個問題一產(chǎn)生一些想法，同時可以找這方面的文獻(xiàn)，將它基本的術(shù)語弄懂。曉得怎么去攻進(jìn)這個問題，然后開始解這個問題。這個問題不一定能夠解決，不過至少你不覺得不著邊際，曉得怎么去對付這個問題。要做到這個地步，其實是要懂很多東西，要經(jīng)過相當(dāng)久的訓(xùn)練才能夠達(dá)到這個地步。

因為我們能力有限，一個人不可能每門都懂，不是我們不想，可是當(dāng)一個題目來的時候，我們往往會產(chǎn)生很多不同的相關(guān)問題，這個題目并不見得正好是我們熟悉的領(lǐng)域，我們希望能夠找文獻(xiàn)或至少找個適當(dāng)?shù)淖鲅芯康娜耍瑔査麄円慌龅竭@個問題時要怎么對付。

所以你們在大學(xué)或研究院要懂得怎么發(fā)問，這是個很重要的基本功訓(xùn)練。一發(fā)問的訓(xùn)練，從小的方面來講就是問老師或同學(xué)，從大的來講，就是自己做一些比較起來還沒有人問過的問題。一個好的數(shù)學(xué)家跟差的數(shù)學(xué)家，往往決定于你一問的問題有沒有意思，是不是重要的問題。你要做到后來成為一個專家的時候，才曉得你問的問題有沒有意思。

不過對你們年輕人來講，問一些你自己認(rèn)為有意思的問題是一個很好的訓(xùn)練，你問的問題可能是專家們熟知的或是人家已經(jīng)解決了的，其實也沒有什么關(guān)系，問問題是一個很重要的訓(xùn)練，并不容易，不過你要盡量在這方面自己訓(xùn)練自己。

我想你們大學(xué)念到一年級、二年級時，應(yīng)當(dāng)通過跟同學(xué)討論來訓(xùn)練自我，也要通過向老師問問題來訓(xùn)練自己。

我不曉得你們清華的同學(xué)間，彼此討論的情況怎么樣?我覺得這很重要的。無論是懂的問不懂的人來講，或是不懂的問懂的人，這兩方面都有很大的好處。

你自己不懂的問題去問很懂的人，當(dāng)然對你自己有好處。反過來講，你自己很懂跟不懂的人解釋自己懂的東西，也是一個很好的訓(xùn)練。因為往往我們認(rèn)為很懂的東西，在向別人解釋時，才發(fā)現(xiàn)自己其實不懂。向?qū)Ψ浇忉寯?shù)學(xué)命題時(一般來講，你大學(xué)讀到的是比較已知的命題)，往往會發(fā)現(xiàn)本來以為對的解釋原來是錯的。所以無論是你自己覺得自己學(xué)問不大好的，或是自己學(xué)問做得很好的，我覺得互相討論對雙方都有好處。

高年級同學(xué)比較知道，在看課外書或是參考書時，前面的第一章，覺得很容易，第二章也很容易，到第三章可能模糊，到第四章時好像很形式化，并不懂什么意思。為什么會產(chǎn)生這種現(xiàn)象呢?這很簡單，因為第一章比較淺一點，你是真的看懂了，第二章其實你不懂，你就跳過去了。這個證明沒看懂，但自以為，大概這樣就對了。越看越多時，前面知識越累積向后面，錯就越來越多，到了最后時，根本就沒辦法控制。

假如你看一本書時，你對一個人講，甚至對一個黑板講也可以。對其他同學(xué)講，不單有意思，而且同學(xué)往往會問你些問題，讓你曉得你什么地方是沒有搞清楚的，經(jīng)過整個過程以后，你會曉得什么地方你懂，什么地方你不懂。所以我們往往鼓勵學(xué)生一定要教書。

我們做研究的人也一樣，一定要教書，不能夠單單做研究就算了，不用教書。教書的好處跟剛才講的一樣，你在講自己的研究的時候，或者在講一個命題時，你往往一路講一路發(fā)覺自己有什么不足的地方。你不講自己的研究，你發(fā)覺你好像很模糊搞不清楚；當(dāng)你向別人講時，一點一滴講出來，你就曉得自己在哪方面不足，中間的聯(lián)系，并不是你想像的那么完善。常常因為我們發(fā)覺研究不夠完善，所以我們還要繼續(xù)向前做研究。假如研究都是充足的話就可以告一段落了。

所以同學(xué)跟同學(xué)間，同學(xué)跟老師間的討論，我想都是很重要的。
　　任何一門科學(xué)，包括數(shù)學(xué)，都不能說已經(jīng)發(fā)展得很完善了，在每一個層次上我們都可以問一些很重要的問題�；�本上數(shù)學(xué)里即使很簡單的學(xué)問，你也可以問出很重要的問題，這些問題你并不一定能夠解決，你可以跟老師或者跟同學(xué)討論。

不過你在問問題時，可以將自己的整個思想、思考搞清楚，這是一個很重要的訓(xùn)練，我很鼓勵你們盡量去問一些問題。

我覺得很得意的，就是我從很早的時候，就常問一些數(shù)學(xué)問題。我在中學(xué)時開始問一些問題，自己看有沒有辦法解決。

其中有一個問題，我考慮了一年：給一個三角形多少數(shù)據(jù)，就可以完全決定一個三角形呢?普通給定三個數(shù)據(jù)，例如一條邊兩個角(ASA)或三條邊(SSS)，都可以決定三角形，假如給的是三個分角線的長又如何呢?三角形的數(shù)據(jù)一般有邊長、角度、分角線長、中垂線長等等，隨便抽三個出來是否就能決定一個三角形?

你試試看，大部分的都能解，只有一兩個不能解。我中學(xué)的時候研究過這個問題，考慮了一年多，最后發(fā)現(xiàn)這個問題并不簡單。我小時候坐火車，在火車上都在想，最后看了一本參考書才知道能不能解，不過整個過程對我的思考幫助很大。

從前是二年級的時候開始念平面幾何，我在三年級的時候開始想這個問題，還有很多比這個問題更復(fù)雜的問題，所以在最簡單最平凡的問題中你可以找到很多有意思的問題問自己。

問題并不少，在自然界里或數(shù)學(xué)中問題多得不得了，問題是自己去找或如何去找。這個要自己訓(xùn)練，方法很多，要自己努力，同時要跟別人多來往。訓(xùn)練要花很多工夫，就是問，從早到晚你究竟花了多少工夫在那里?你要動腦筋，不是隨便講兩句就行了。

做學(xué)問用功很重要
　　我從前有一個博士生，資質(zhì)不錯，想法也不錯，我跟他說你一天,最少要花六個鐘點在數(shù)學(xué)上面想論文，他說不行，后來他也沒有再做下去了。我不曉得你們能不能坐六個小時想數(shù)學(xué)，或看數(shù)學(xué)?做學(xué)問全神貫注很重要，假如你覺得不能全身心投入的話，你干脆不要念數(shù)學(xué)算了。

從前我大學(xué)畢業(yè)后，我一天最少有十個多鐘頭在想數(shù)學(xué)，你并不一定要這樣子，不過你至少要花一定工夫的鉆研才能做一個好的數(shù)學(xué)家。你愿意花很多工夫以后我想你一定會有收獲。

當(dāng)然，一個好數(shù)學(xué)家，除了用功之外，也要有一些運(yùn)氣在里面，聰明很有影響，你們能考上清華，聰明應(yīng)該不會差太遠(yuǎn)，真正重要的，還是全神貫注的能力。

從前，我們在中國香港長大，很想看參考書，但又貴又不容易找到。你們現(xiàn)在在清華，我想，你們要找什么都找得到，要找些比較好的研究員來跟你們講東西，現(xiàn)在也容易多了，所以我想主要是你們能不能夠做，最好不要找借口。

在國外很多大的學(xué)校，學(xué)生很多，不大容易找到好的老師，研究的機(jī)會可能也比這邊少得多，我讀大學(xué)時的經(jīng)驗就是這樣，主要是你肯用功。

做學(xué)問是靠自己，做研究也靠自己。一般來講，你到一個學(xué)校，剛好跟你做同一行的很少很少，頂多兩三個而已。基本上是靠自己。在臺灣參考書都有了，不一定要靠別人，要有發(fā)動自己的能力，自己肯問問題，單靠自己應(yīng)該不會差太遠(yuǎn)的。

所以你一旦做決定后，你要享受做數(shù)學(xué)的樂趣，好比下棋，假若對下棋沒有興趣，被逼去下棋就很痛苦，可是你對下棋有興趣的話，你越下越有意思，下到困難的地方更有意思，做數(shù)學(xué)也是一樣，碰到困難的問題更有意思，所以一定要建立興趣。

興趣是要培養(yǎng)的。如果你問一個小學(xué)生：“你對微積分有沒有興趣?”你當(dāng)然可以講他對微積分沒有興趣，因為他根本不懂微積分。

同樣的意思，如果我問你對微分幾何有多大的興趣，在你還沒有開始做之前，你當(dāng)然不曉得，因為你根本不懂微分幾何。這其實是很空洞的問題，不能講我現(xiàn)在有興趣，或我現(xiàn)在沒興趣。不過到你真的做進(jìn)去以后，你才發(fā)現(xiàn)你對它有很大的興趣。