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我的老師都很有能力，又極富獻(xiàn)身精神，我做了大量習(xí)題。到第四年，我已能做許多Ha
ll-Knight
的書(shū)中引用的劍橋大學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的題目。
1926年我從扶輪畢業(yè)；同年我進(jìn)南開(kāi)大學(xué)，實(shí)際上是跳了兩級(jí)，因此我從未上過(guò)解析幾何課。更糟的是，我必須參加南開(kāi)大學(xué)的入學(xué)考試，其數(shù)學(xué)試題中解析幾何占很重的份量。考試前的三個(gè)星期，我自學(xué)了
Young 與 Morgen 的《數(shù)學(xué)分析》（Mathematical analy sis）如果記得不錯(cuò)的話(huà)，我的考卷位列第二。不過(guò)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，“圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)”這一概念令我大傷腦筋，直到幾年后學(xué)了射影幾何學(xué)我才茅塞頓開(kāi)。
進(jìn)南開(kāi)大學(xué)后，我很快就發(fā)現(xiàn)自己做實(shí)驗(yàn)笨手笨腳，于是數(shù)學(xué)便成為我唯一的選擇。我有幸得姜立夫教授為師——他1918年獲哈佛大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師是
J. Coolidge，論文題目是關(guān)于非歐幾里得空間中線(xiàn)球接觸變換的。因此，我在大學(xué)第四年，花了許多功夫?qū)W幾何，所讀的書(shū)中有
Coolidge 的《非歐幾何學(xué)》
與《圓和球的幾何學(xué)》，Solmon
的《圓錐曲線(xiàn)》與《立體解析幾何》，以及 Castelnuovo
的《解析幾何與射影幾何》等。尤其使我著迷的是 Otto Staude
的二卷本著作《線(xiàn)構(gòu)造》。二次超曲面的幾何是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的篇章。我很高興看到
J. Moser 1979年在可積哈密頓系統(tǒng)和譜理論的研究中繼續(xù)這方面的工作。（參見(jiàn)3）甚至在今日，研究
Salmon
的東西可能仍是有價(jià)值的，至少在我看來(lái)是有趣的。
1930年我從南開(kāi)畢業(yè)，去北平清華大學(xué)從孫鎕
【注1】
教授工作。孫先生在當(dāng)時(shí)是中國(guó)發(fā)表數(shù)學(xué)研究論文的唯一的數(shù)學(xué)家。孫的研究領(lǐng)域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學(xué)
E.P.Lane 的博士生。這個(gè)主題由 E.J. Wilczynsky 于1901年創(chuàng)立，是那時(shí)已經(jīng)支配幾何學(xué)近一世紀(jì)的射影幾何的一個(gè)自然產(chǎn)物。我熟悉了這方面的文獻(xiàn)，并寫(xiě)了幾篇論文，其中包括我的有關(guān)射影線(xiàn)幾何的碩士論文。繼Plücker 與克萊因之后，線(xiàn)幾何一直是幾何學(xué)家們喜愛(ài)的主題。事實(shí)上克萊因的學(xué)位論文就是關(guān)于二次線(xiàn)體的，即 Plücker
坐標(biāo)下的二次方程所確定的線(xiàn)軌 (line loci)。二次線(xiàn)體具有許多背景中也有許多線(xiàn)幾何的內(nèi)容。
我的論文研究線(xiàn)匯，即線(xiàn)的二維子流形以及它們的通過(guò)二次線(xiàn)體的密切(osculation)。
在我的研究生學(xué)業(yè)接近結(jié)束時(shí)，即大約1934年左右，我開(kāi)始認(rèn)識(shí)到整體微分幾何（當(dāng)時(shí)稱(chēng)為大范圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來(lái)自
W. Blaschke 的關(guān)于微分幾何的那些著作。
很清楚，代數(shù)拓?fù)涫钦麄�(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)。而代數(shù)拓?fù)浔旧懋?dāng)時(shí)還處于發(fā)展階段。Veblen
于1922年發(fā)表的 analysis situs 【注2】
引進(jìn)了「同調(diào)不變量」(homology characters)
即根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣得出的 Betti 數(shù)和撓系數(shù)。Lefschetz
的《拓?fù)鋵W(xué)》于1930年出版，但該書(shū)對(duì)初學(xué)者進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域并無(wú)裨益。我曾聽(tīng)過(guò)
Emanuel Sperner 的講課（1933～1934年）。當(dāng)時(shí) Sperner
正在北京大學(xué)訪問(wèn)，他的課包含有對(duì) Erhard Schmidt
關(guān)于約當(dāng)曲線(xiàn)定理的證明的嚴(yán)密而詳細(xì)的論述。我也聽(tīng)過(guò)江澤涵講授的以
Lefschetz 的書(shū)為藍(lán)本的「位置分析」課，江是 Marston
Morse 過(guò)去的學(xué)生，曾擔(dān)任 Lefschetz
的助手。而我當(dāng)時(shí)的感覺(jué)是我只是剛剛站在代數(shù)拓?fù)溥@座偉大殿堂的門(mén)口。
到1934年
Seifert-Threlfall 的書(shū)和1935年 Alexandroff-Hopf
的書(shū)問(wèn)世，情況才有了巨大的變化。 1932年春季，Blaschke
訪問(wèn)了北平，作了關(guān)于「微分幾何中的拓?fù)鋯?wèn)題」的系列演講。這是真正的局部微分幾何。他采用全體微分同胚構(gòu)成的偽群取代經(jīng)典微分幾何中的李群，并研究了局部不變量。我能跟上
Blaschke
的演講并去閱讀發(fā)表在漢堡大學(xué)數(shù)學(xué)討論會(huì)論文集
(Hamburger Abhandlungen)
及其它雜志上的包含在這同一個(gè)總標(biāo)題下的許多論文。這個(gè)主題現(xiàn)在稱(chēng)為網(wǎng)幾何
(web geometry)。由于有此接觸，之前又已掌握 Blaschke
的微分幾何書(shū)中的知識(shí)，所以當(dāng)1934年獲得一筆獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)，我決定去漢堡留學(xué)。
歐洲的留學(xué)生活
1934～1936年我在漢堡，1936年獲理學(xué)博士學(xué)位；并曾在巴黎隨
Elie Cartan
從事一年博士后研究，去漢堡的選擇實(shí)屬幸運(yùn)之舉。漢堡大學(xué)有一個(gè)很強(qiáng)的數(shù)學(xué)系，Blaschke、Artin
以及 Hecke 是那里的教授，較資淺的成員包括 E.
K?hler、H. Petersson 和H. Zassenhaus。
那時(shí) Blaschke
的數(shù)學(xué)興趣正從網(wǎng)幾何轉(zhuǎn)向積分幾何。1934年9月我剛見(jiàn)到他時(shí)，他給了我一大疊關(guān)于網(wǎng)幾何的抽印本。我開(kāi)始對(duì)網(wǎng)的秩的概念和具有最大的秩的網(wǎng)產(chǎn)生了興趣。大家知道，Rn
中一個(gè)余維是 1 的 d 網(wǎng)由處于一般位置的 d
個(gè)超曲面葉結(jié)構(gòu)組成。設(shè) x1,...,xn 是 Rn
的坐標(biāo)，葉狀結(jié)構(gòu)由方程<!--[if !vml]--><!--[endif]-->給定。形如
<!--[if !vml]--><!--[endif]-->的方程被稱(chēng)為是
Abel 方程。線(xiàn)性無(wú)關(guān)的 Abel
方程的最大個(gè)數(shù)被稱(chēng)為是這個(gè)網(wǎng)的秩。如果 d-網(wǎng)由
Rn 空間里的 d
類(lèi)代數(shù)曲線(xiàn)的超平面定義，它就具有這樣的 Abel
方程，它們是將 Abel 定理應(yīng)用于 Abel
微分獲得的。因而這個(gè) d-網(wǎng)的秩至少是該曲線(xiàn)的虧格
(genus)。在一篇短文中我確定了 Rn 中所有余維為 1
的 d-網(wǎng)的最大秩 。根據(jù) Castelnuovo
的一個(gè)定理，這個(gè)整數(shù)等于 n 維射影空間 Pn
里不屬于任意超平面 Pn-1 的 d
次代數(shù)曲線(xiàn)的最大虧格。值得注意的事實(shí)是，并非所有具有最大秩的網(wǎng)都是由上述方式描述的具有最大虧格的代數(shù)曲線(xiàn)給出的；這里存在怪異的具有最大秩的網(wǎng)，這些網(wǎng)的葉并非都是超平面。這些
Abel
方程本質(zhì)上是函數(shù)方程，因?yàn)樵诮?jīng)典情形中，這些方程變成眾所周知的超越函數(shù)的加法定理。在平面上
(n=2)，曲線(xiàn)的 5-網(wǎng)的最大秩為 6，而且存在一個(gè)怪異網(wǎng)（Bol網(wǎng)），這個(gè)網(wǎng)的
Abel 方程含二重對(duì)數(shù)。1978年 Griffiths 和我研究了 Rn
中具有最大秩 且余維為 1 的 d-網(wǎng)問(wèn)題，但我們沒(méi)有獲得最后結(jié)果。我認(rèn)為確定這樣的怪異網(wǎng)是一個(gè)非常有趣且很重要的問(wèn)題。
1934～1935年間我的主要精力用于參加 K?hler
的討論班。討論班以 K?hler剛出版不久的著名小冊(cè)子《微分方程組理論導(dǎo)引》(Einführung
in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen)
為基礎(chǔ)。主要成果就是后來(lái)所稱(chēng)的 Cartan-K?;hler
定理。所有的人，包括 Blaschke、Artin 與 Hecke，都出席了首次討論會(huì)，每人還得到一本上述的小冊(cè)子。但參加者減少得很快，我是堅(jiān)持到底的極少數(shù)人之一。我把這一理論用于
R2r 中 r 維子流形的 3-網(wǎng)。Blaschke 和 K?hler
都認(rèn)為這個(gè)結(jié)果與我先前關(guān)于最大秩的結(jié)果已足夠?qū)懗梢黄獙W(xué)位論文了。到1935年底我的學(xué)位論文已準(zhǔn)備就緒。
Blaschke 及其學(xué)派主要關(guān)心積分幾何，Blaschke
開(kāi)過(guò)積分幾何的課程。這一主題最漂亮的結(jié)果是由
L.A. Santalò
發(fā)現(xiàn)的。一個(gè)結(jié)果是用正項(xiàng)的無(wú)窮和表示平面凸曲線(xiàn)的等周虧量，其中每個(gè)正項(xiàng)均具幾何意義。Santalò
的工作使他成為積分幾何方面的世界級(jí)領(lǐng)袖。他原籍西班牙，后來(lái)移民到阿根廷。
我的另一位學(xué)友是代數(shù)幾何學(xué)家周煒良，他為了跟
Hermann Weyl做研究從芝加哥來(lái)到哥廷根。但是哥廷根乃至整個(gè)德國(guó)政局的變化使這一愿望成為泡影，他又轉(zhuǎn)往萊比錫隨
Van der Waerden
工作。由于某種原因，他住在漢堡，有時(shí)來(lái)參加討論班。周煒良當(dāng)時(shí)正在發(fā)展他的「配型」(zugeordnete
Formen)，即后來(lái)所稱(chēng)「周氏坐標(biāo)」。周是一位有創(chuàng)見(jiàn)的數(shù)學(xué)家。他對(duì)代數(shù)幾何作出了重要貢獻(xiàn)，包括他的緊子簇定理和相交理論。周出身于中國(guó)一個(gè)高層官
宦家族，它很早就認(rèn)識(shí)到西化的必要，因此這個(gè)家族出了不少杰出人物。周習(xí)慣夜間工作。當(dāng)他來(lái)訪時(shí)我就得犧牲一些睡眠，但卻學(xué)得一些數(shù)學(xué)。
無(wú)論如何，只要可能，我就去聽(tīng) Artin
的講課。二年間他開(kāi)過(guò)的課包括復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⑾鄬?duì)論和丟番圖逼近等。我還聽(tīng)過(guò)
Hecke
主要按他的書(shū)講的代數(shù)數(shù)論課。我在漢堡的學(xué)術(shù)生涯是很理想的，但是政局不允許這種生活繼續(xù)下去。
1936～1937年我可從事一年博士后研究。當(dāng)我征求
Blaschke 的意見(jiàn)時(shí)，他建議我或繼續(xù)留漢堡跟 Artin
研究數(shù)論，或去巴黎跟隨 Elie Cartan。這兩個(gè)方案都有吸引力，我最后選擇了后者。
這一抉擇非常理想。那年 Cartan
開(kāi)了一門(mén)外微分系統(tǒng)的課程；講義后來(lái)以書(shū)的形式出版了。那些后來(lái)成為
Bourbaki
的「年輕的」法國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)始活躍起來(lái)。他們組織了一個(gè)「Julia
討論班」，每二周聚一次，致力于對(duì)每年選定的一個(gè)專(zhuān)題進(jìn)行研究。1936～1937年的專(zhuān)題是「E.
Cartan 的工作」。
Cartan
是位極好的導(dǎo)師。他提出的「小」問(wèn)題，有些成為我論文的主題。大概由于我對(duì)他所提問(wèn)題作的解答，他允許我大約每二周去他家一次。見(jiàn)面后的第二天我通常會(huì)收
到他的信，信中往往說(shuō)：「你走后我又考慮了他的問(wèn)題。......這問(wèn)題似乎很有趣......」這一年過(guò)得有趣而令人難忘。
我還聽(tīng)過(guò) Montel 有關(guān)多復(fù)變的講課，參加過(guò) Hadamard
在法蘭西學(xué)院舉辦的討論班。在每次討論班結(jié)束時(shí)
Hadamard
總會(huì)作總結(jié)，它通常比討論班上的演講本身更清楚更豐富。
在獲悉中日戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)的消息后，我懷著沉重的心情于1937年7月10日告別巴黎返回中國(guó)。
數(shù)學(xué)上與世隔絕
1937年夏我離歐返華時(shí)，本打算去北平就任清華大學(xué)教授之職，由于中日戰(zhàn)爭(zhēng)之故，十年后才達(dá)到此目的。當(dāng)時(shí)清華大學(xué)先搬到長(zhǎng)沙，1938年又遷至昆明，在那兒一直滯留到1945年夏戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束。
昆明是座美麗的城市。雖然處于戰(zhàn)事中的國(guó)家物資匱乏、局勢(shì)動(dòng)蕩，但在生活的其它方面倒是愉快的。清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開(kāi)大學(xué)聯(lián)合，組成了西南聯(lián)合大
學(xué)，昆明立刻成為戰(zhàn)時(shí)中國(guó)知識(shí)界的中心。我的數(shù)學(xué)同仁包括華羅庚和許寶騄。我開(kāi)了代數(shù)拓?fù)洹⒗钊�、球幾何及外微分系統(tǒng)等方面的課程和討論班，吸引了一批學(xué)生。主要的不便是此地與外界的聯(lián)系被切斷了：有段時(shí)間連「緬甸信道」也關(guān)閉了，與外界的聯(lián)系只有靠空運(yùn)。我有個(gè)私人小書(shū)庫(kù)。
起初，我做了以前想做而沒(méi)時(shí)間做的事：讀了些書(shū)，思考些問(wèn)題，還覺(jué)得有趣。但挫折很快就降臨了，而且必須克服。我將此情信告 E. Cartan，他寄給我許多他的抽印本，包括一些過(guò)去的論文。我花了大量時(shí)間研讀這些論文，考慮其內(nèi)涵及應(yīng)用。這確實(shí)使我受益匪淺。在30年代，人們已開(kāi)始認(rèn)識(shí)到 Cartan 的工作的重要性，如 Weyl、Blaschke 和 K?hler，但幾乎沒(méi)有人去讀 Cartan 舊時(shí)的論文（有關(guān)李代數(shù)的論文除外）。我很幸運(yùn)能因環(huán)境之故把這些論文都遍讀無(wú)遺。
駐華盛頓的中國(guó)大使胡適博士空郵來(lái)一本 Hurewicz-Wallman 寫(xiě)的有關(guān)《維數(shù)論》的書(shū)�，F(xiàn)今習(xí)慣于靜電復(fù)印的人也許很難想象我把除最后一章外的整本書(shū)抄了一遍。在最后一章中，作者是在沒(méi)有正合序列概念的情況下處理正 合序列的問(wèn)題，我覺(jué)得很難理解。其實(shí)當(dāng)時(shí)讀論文作筆記是很普通的。復(fù)印大量資料并不能說(shuō)明自己取得了多少進(jìn)步。
我開(kāi)始有了一些學(xué)生，其中有王憲鐘和嚴(yán)志達(dá)。王后來(lái)對(duì)拓?fù)鋵W(xué)作出了許多貢獻(xiàn)，盡管他最出名的成果是王序列。嚴(yán)最早給出所有例外李群的 Betti 數(shù)的正確值。
回首往事，我并不認(rèn)為自已對(duì)作為整體的數(shù)學(xué)有完善的見(jiàn)地。我清楚自己的某些不足并渴望得到充實(shí)。我的數(shù)學(xué)實(shí)力在于我能算。至今我不在乎繁復(fù)的計(jì)算，直到數(shù)年前我做這樣的計(jì)算還很少出現(xiàn)差錯(cuò)。這方面的訓(xùn)練現(xiàn)在不大流行，也得不到鼓勵(lì)，但在處理許多問(wèn)題時(shí)它仍有很大的好處。
Gauss-Bonnet 公式曾使我著迷，我知道它的最概念化的證明是通過(guò)結(jié)構(gòu)方程來(lái)表示聯(lián)絡(luò)形式的外微分。當(dāng)1943年我去普林斯頓時(shí)，它已為為我在數(shù)學(xué)工作中最得意的一篇論文開(kāi)了題。
普林斯頓陽(yáng)光燦爛
我于1943年8月抵達(dá)普林斯頓。氣氛的變化令人難忘。那段日子高等研究院很清靜，大多數(shù)人已離去為戰(zhàn)事服務(wù)。Hermann Weyl 對(duì)我的工作很感興趣。我訪問(wèn)之前他曾為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》(Annals of Mathematics) 審閱過(guò)我一篇有關(guān)迷向曲面的論文，并寫(xiě)了一個(gè)很長(zhǎng)的給予好評(píng)的報(bào)告。這件事是他親自泄露給我的。報(bào)告提出了改進(jìn)的建議，這說(shuō)明他仔細(xì)地看了全文。我們經(jīng)常交談。Weyl 的深刻洞察之一是預(yù)言代數(shù)幾何有非常美好的前景。
Andre Weil 那時(shí)在附近的 Lehigh 大學(xué)，我們很快就見(jiàn)了面并有好多可談的內(nèi)容。當(dāng)時(shí)Weil 剛剛發(fā)表與 Allendoerfer 合作的關(guān)于 Gauss-Bonnet 公式的論文，它立刻成為我們討論的話(huà)題。根據(jù)我對(duì)二維情況的埋解，我知道正確的證明應(yīng)該建基于我們現(xiàn)在稱(chēng)之為超度 (transgression) 的概念之上。困難則有兩個(gè)：1)當(dāng)時(shí)我對(duì)關(guān)于向量場(chǎng)的奇點(diǎn)的
Poincare-Hopf 定理不甚清楚；2)超度必須在單位切叢中而不是在主叢中實(shí)現(xiàn)，這就涉及到一個(gè)不平凡的技術(shù)困難。這兩個(gè)困難我都在短時(shí)間克服了，事情有了一個(gè)滿(mǎn)意的結(jié)果。我仍認(rèn)為這是我做得最好的工作。
其后自然要把這個(gè)結(jié)果擴(kuò)展到 Stiefel-Whitney 類(lèi)。那時(shí)即使在普林斯頓，談起纖維叢也必得從定義開(kāi)始。那時(shí)沒(méi)有矢量叢，只有球叢。我注意到復(fù)示性類(lèi)較簡(jiǎn)單，容許局部曲率表示。這項(xiàng)工作不難，但它并非那個(gè)時(shí)代拓?fù)鋵W(xué)的時(shí)尚課題。
我雖是高等研究院的成員，但很多時(shí)間是在普林斯頓大學(xué)的范氏大樓 【注3】 度過(guò)的。Chevalley 那時(shí)正在寫(xiě)他的有關(guān)李群的書(shū)。Lefschetz 則固執(zhí)己見(jiàn)，他不愿用當(dāng)時(shí)盛行的常規(guī)方法研究微分幾何。當(dāng)時(shí)請(qǐng)我為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》審閱一篇論文而建議退稿后，他讓我擔(dān)任該刊的副主編 (associate editor)。
普林斯頓的環(huán)境與工作節(jié)拍令我十分愜意。我對(duì)數(shù)學(xué)的看法成熟多了。留居普林斯頓的日子使我感到極大的樂(lè)趣。近年來(lái)科學(xué)競(jìng)爭(zhēng)已使科學(xué)家的生活大煞風(fēng)景，盡管在數(shù)學(xué)方面的情況要好得多。我認(rèn)為沒(méi)有非要如此快地出成果的必要，我也不為電子郵件的發(fā)現(xiàn)所動(dòng)。
1945年底我告別普林斯頓回中國(guó)。踏上故土立即受命組建中國(guó)的科學(xué)院，即中央研究院的數(shù)學(xué)研究院，其時(shí)二次大戰(zhàn)雖已結(jié)束，中國(guó)卻由于內(nèi)戰(zhàn)而處于分裂狀態(tài)。我向 Hermann Weyl 發(fā)出訪華邀請(qǐng)，他欣然接受。但是中國(guó)當(dāng)時(shí)的形勢(shì)使這一訪問(wèn)未能實(shí)現(xiàn)。
1948年底南京政府處于崩潰之中，感謝高等研究院主動(dòng)安排我離華。1949年冬季學(xué)期我在高等研究院，是 Veblen 的微分幾何討論班的主講人。講稿兩年后補(bǔ)寫(xiě)出來(lái)，流傳甚廣。這些講稿現(xiàn)收錄在已出版的我的《論文選集》第四卷內(nèi)。主要結(jié)果是 Weil 同態(tài)。這是陳類(lèi)從酉群到任意李群的一個(gè)推廣。1944年我在寫(xiě)有關(guān)復(fù)示性類(lèi)的論文時(shí)就知道這個(gè)結(jié)果；由于未熟練掌握李群，當(dāng)時(shí)未能證明它。Weil 通過(guò)考慮聯(lián)絡(luò)族，提供了一個(gè)關(guān)鍵性的思想。我把這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為 Weil 同態(tài)。朋友們認(rèn)為我應(yīng)該分享這一榮譽(yù)，對(duì)此我自然不持異議。
數(shù)學(xué)上進(jìn)入不惑之年
二次大戰(zhàn)后，Marshall Stone 應(yīng)召重組芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，并任系主任。他最早發(fā)出的兩份聘約分別送達(dá) Hassler Whitney 與 Andre Weil，這是他洞鑒數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)界的一個(gè)證明。Whitney 謝絕了，而 Weil 經(jīng)過(guò)數(shù)次協(xié)商后接受了。
我在中國(guó)時(shí) Stone 就曾寫(xiě)信給我談起要在芝加哥為我提供一個(gè)訊問(wèn)職位的事。1949年我來(lái)美國(guó)后，芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系決定長(zhǎng)期聘我。我認(rèn)為芝加哥大學(xué)是美國(guó)唯一的其主要目標(biāo)是 「知識(shí)進(jìn)步」而非教育的大學(xué)。我有許多朋友在那里的數(shù)學(xué)系；1949年夏我成了該系的成員。由此引出了一段愉快而有益的合作。
1949～1950學(xué)年我開(kāi)了一門(mén)名為「大范圍微分幾何」的課程，有一批才華橫溢的學(xué)生。我自己正在開(kāi)辟自己的道路，我的學(xué)生及時(shí)更正了我的許多錯(cuò)誤 和疏忽，這是生氣勃勃而又有趣的結(jié)合。我還記得 Arnord Shapiro，他曾主持許多這樣的討論。回想起來(lái)，當(dāng)時(shí)我對(duì)微分幾何的了解還是初步的。這門(mén)學(xué)科中一些爭(zhēng)論問(wèn)題至今未決，也許正反映了它的力量之所在。 例如，曲面是什么？是嵌入還是浸入，或是由可能有奇點(diǎn)的方程所定義的？另一方面，我的課上涉及的許多課題，也獲得了新的多方面的發(fā)展。
我與 Weil 聯(lián)系密切。他隨時(shí)都有準(zhǔn)備，隨時(shí)都可合作。在與我討論過(guò)數(shù)學(xué)的眾多數(shù)學(xué)家中，Weil 是極少數(shù)能迅速抓全我的思想并給予有益的評(píng)說(shuō)的數(shù)學(xué)家之一。我們常沿著密執(zhí)安湖畔長(zhǎng)時(shí)間的漫步，這在當(dāng)時(shí)還很安全。
我對(duì)代數(shù)拓?fù)湟哺信d趣，偶爾開(kāi)一門(mén)這方面的課。我與 Ed Spanier 在球叢的研究上進(jìn)行過(guò)合作。所獲結(jié)果之一是把 Gysin 的工作寫(xiě)成一個(gè)正合序列。Rene Thom 把它做得更明白化了，這個(gè)結(jié)果現(xiàn)在通常稱(chēng)為 Thom 同構(gòu)。
我覺(jué)得芝加哥和漢堡都非常令人愉快。我認(rèn)為兩者的規(guī)模都很合適。不幸的是數(shù)學(xué)的發(fā)展已使一切都膨脹了。
在西海岸定居
1960年我遷往伯克利 (Berkeley)。對(duì)我來(lái)說(shuō)這地方并不陌生。我在中國(guó)的老師姜立夫教授就是在伯克利獲得理學(xué)學(xué)位的
。1946年和1949年我曾兩度駐足伯克利并在伯 克利數(shù)學(xué)系呆過(guò)一段時(shí)間。伯克利數(shù)學(xué)系是第一流的，它由
G.C. Evans 創(chuàng)建 。Evans 曾在若干場(chǎng)合詢(xún)問(wèn)過(guò)我對(duì)去伯克利有無(wú)興趣。Evans 的兄弟曾是天津著名的西文書(shū)店的老板。我曾在那兒買(mǎi)過(guò)一些課本，而書(shū)價(jià)一般貴得嚇人。
Evans 要退休了，我去伯克利工作的事變得認(rèn)真了，確實(shí)，我有時(shí)想到，自己年紀(jì)大了，伯克利較溫暖的氣候很有吸引力。當(dāng)然，伯克利數(shù)學(xué)系在擴(kuò)展，空運(yùn)的發(fā)達(dá)已使加利福尼亞不再像從前那么孤立等因素，亦促成了我的這次遷居。
伯克利一直在提高它在數(shù)學(xué)界的地位，吸引著許多優(yōu)秀的學(xué)生。在我指導(dǎo)下有31名研究生獲博士學(xué)位，當(dāng)然我還影響其它一些學(xué)生。我開(kāi)始以「第二作者身份」 【注4】 與年輕人合作撰寫(xiě)論文，如與 Bott，Griffiths、Moser，以及 Simons 等合作就是如此。在這種情況下我感覺(jué)責(zé)任較輕。生活越來(lái)越覺(jué)舒暢。
與我在學(xué)術(shù)上交往密切的同事有 Hans Lewy 和 Chuck Morrey，他們都是有創(chuàng)見(jiàn)、能力很強(qiáng)的分析學(xué)家。Lewy 和對(duì) R6 中的三維黎曼度量的局部等距嵌入問(wèn)題進(jìn)行過(guò)一段時(shí)問(wèn)的研究。它把我們導(dǎo)向三次漸近錐面的研究，我們弄清楚那是雙曲的，但僅止于此。
數(shù)學(xué)中的微分的作用很奇妙。通常人們傾向于認(rèn)為代數(shù)和拓?fù)涫菙?shù)學(xué)的兩根支柱。但是事情并非那樣簡(jiǎn)單；牛頓和萊布尼茲玩的是絕技。這一時(shí)期已經(jīng)看到微分幾何匯入了數(shù)學(xué)的主流。
老耄之年的消遣
我的生命歷程正在接近終點(diǎn)，我唯一的考慮是怎樣度過(guò)這段時(shí)光。答案很簡(jiǎn)單，我將繼續(xù)擺弄數(shù)學(xué)。體育運(yùn)動(dòng)我從來(lái)就不在行，現(xiàn)在就更不用說(shuō)了。聽(tīng)音樂(lè)對(duì)我一直是浪費(fèi)時(shí)間，偶爾介入此道，純粹出于社交之故。所幸的是整體微分幾何還有許多基本問(wèn)題，盡管在其發(fā)展中我很可能僅是一名觀眾。
我認(rèn)為，研究對(duì)象限于光滑流形只是由于技術(shù)上的原因，也是不能令人滿(mǎn)意的。不僅很自然地存在著非光滑的流形，而且即使從光滑流形開(kāi)始，諸如包絡(luò)這樣一些幾何構(gòu)造也將導(dǎo)致非光滑流形，Whitney 引進(jìn)了分層流形的概念，它允許有奇點(diǎn)并可應(yīng)用無(wú)窮小分析。最近 Robert McPherson 的工作又帶來(lái)了新的希望。Cheeger-Goresky-McPherson 相交同調(diào)和 McPherson 陳類(lèi)已揭示出這一概念的本質(zhì)。（見(jiàn)2）
對(duì)我來(lái)說(shuō)，黎曼結(jié)構(gòu)是否像最新的進(jìn)展所表明的那樣基本還不清楚。畢竟黎曼在那篇?dú)v史性的論文中，允許他的度量是一種 4 次形式的 4 次根。更一般情形現(xiàn)在稱(chēng)之為Finsler 度量。我在最近的一篇【注記4】 中指出，只要采取適當(dāng)?shù)挠^點(diǎn)，F(xiàn)insler 幾何可以很簡(jiǎn)單地加以展開(kāi)。進(jìn)一步的發(fā)展則是必然的。
正如 Griffiths 曾注意到的，我之所以喜歡代數(shù)手法起因于我的經(jīng)歷。局部微分幾何需要這樣去作，但是要得到漂亮的局部性定理是困難的。很清楚，前面討論過(guò)的有關(guān)最大秩的網(wǎng)的問(wèn)題是很重要的問(wèn)題，它將受到我的關(guān)注。
數(shù)學(xué)仍在不斷地陶冶著我。
【1】P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley, 1978.
【2】Robert McPherson, Global questions in the topology of singular spaces, Proc. ICM Warszawa, vol 1, 198 213-235.
【3】J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, Chern symposium,
Springer-Verlag, 1979, 147-148.
【4】S. Chern, On Finsler Geometry, Comptes Rendus, Academie des Sciences, Paris (1991).
本文原題 My Mathematical Education。譯自作者于1991.10.28寄給《陳省身文選》編者的復(fù)印中。原文已刊在丘成桐主編的文集。本文現(xiàn)收錄在《陳省身──20世紀(jì)的幾何大師》
中譯本中，交大出版社出版。
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