朱世杰的《算學(xué)啟蒙》是一部很好教科書(shū)

朱世杰最重要的數(shù)學(xué)著作《算學(xué)啟蒙》是在公元1299年刊印的，全書(shū)分三卷，二十門(mén)，總計(jì)二百五十九個(gè)問(wèn)題和相應(yīng)的解答。該書(shū)自乘除運(yùn)算起，一直講到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高成就“天元術(shù)”，全面系統(tǒng)地介紹了當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)家研究的大部分的內(nèi)容。內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很好的啟蒙讀物和教科書(shū)；這部著作后來(lái)流傳到了朝鮮、日本等國(guó)，出版過(guò)翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過(guò)一定的影響。在中國(guó)一度失傳，直到1839年得到朝鮮翻刻本，才再重新翻印流傳。朱世杰的著作深深地影響著亞洲數(shù)學(xué)的發(fā)展。

《四元玉鑒》是中國(guó)代數(shù)發(fā)展巔峰之代表作

《四元玉鑒》成書(shū)于公元1303年，全書(shū)共三卷，二十四門(mén)，二百八十八問(wèn)，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——“四元術(shù)”、高階等差級(jí)數(shù)的計(jì)算——“垛積術(shù)”以及“招差術(shù)”即有限差分等方面的研究成果�？梢哉f(shuō)是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力作�！端脑�玉鑒》是一部關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)輝煌成就的名著，受到近代數(shù)學(xué)史研究者的高度評(píng)價(jià)，認(rèn)為是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。

 書(shū)中所有問(wèn)題都與求解方程或求解方程組有關(guān)，在書(shū)中的四元術(shù)是天、地、人、物表示在單一的方程式中的四個(gè)未知數(shù)。其中：四元的問(wèn)題（需設(shè)立四個(gè)未知數(shù)者）有7問(wèn)（“四象朝元”6問(wèn)，“假令四草”1問(wèn)）；三元的13問(wèn)（“三才變通”11問(wèn)，“或問(wèn)歌彖”和“假令四草”各1問(wèn)）；二元的36問(wèn)（“兩儀合轍”12問(wèn)，“左右逢元”21問(wèn)，“或問(wèn)歌彖”2問(wèn)，“假令四草”1問(wèn)）”；一元的232問(wèn)（其余各問(wèn)都是一元）。

可見(jiàn)，四元術(shù)——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內(nèi)容，也是全書(shū)的主要成就。

可以說(shuō)《四元玉鑒》是中國(guó)代數(shù)發(fā)展之巔峰的代表作。書(shū)中主要論及處理齊次方程組、帕斯卡三角形 以及解高次方程(如14次方程)。朱世杰解14次方程式的方法就是現(xiàn)在所周知的霍納方法。雖然朱世杰似乎是第一個(gè)發(fā)表帕斯卡三角形和霍納方法的數(shù)學(xué)家， 但是他的名字并沒(méi)有和他的發(fā)現(xiàn)齊名，但這并無(wú)損朱世杰在數(shù)學(xué)上所做出的重要貢獻(xiàn)。

朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是宋元數(shù)學(xué)的代表，是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰。   

秦、李、楊、朱的數(shù)學(xué)著作內(nèi)容廣泛而艱深，象高次方程的數(shù)值解法、天元術(shù)、四元術(shù)、大衍求一術(shù)、垛積術(shù)和招差術(shù)等，都是具有世界意義的學(xué)術(shù)成就，分別比歐洲要早出現(xiàn)四百年到八百年，在當(dāng)時(shí)世界上居于遙遙領(lǐng)先的地位。這一豐富多彩的輝煌時(shí)期在我國(guó)數(shù)學(xué)史上也是罕見(jiàn)的。

朱世杰的“四元術(shù)”是在高次方程的數(shù)值解法以及“天元術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。當(dāng)未知數(shù)不止一個(gè)的時(shí)候，除設(shè)未知數(shù)天元（χ）外，還需要增設(shè)地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列寫(xiě)出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組，然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術(shù)”。 他系統(tǒng)地闡述了運(yùn)用“天元術(shù)”——以代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的巨大的優(yōu)越性。

  朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯(lián)立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術(shù)》等書(shū)中的四元一次聯(lián)立方程組解法推廣到四元高次聯(lián)立方程組，在《四元玉鑒》中舉例說(shuō)明了高次聯(lián)立方程組的求解方法——消去法。 在歐洲，解聯(lián)立一次方程開(kāi)始于十六世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是十八、十九世紀(jì)的事。

朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術(shù)”上，指出招差公式中的各項(xiàng)系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學(xué)史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個(gè)世紀(jì)。 

  除了“四元消法”和“垛積招差”以外，朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內(nèi)容，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上，朱世杰第一次正式提出了正負(fù)數(shù)乘法的正確法則。他對(duì)球體表面積的計(jì)算問(wèn)題作了探討，這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍中唯一的一次討論。雖然結(jié)論不很正確，但是他的創(chuàng)新精神是可貴的。在《算學(xué)啟蒙》中，朱世杰記載了完整的"九歸除法"口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。

公元1303年中國(guó)數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書(shū)中發(fā)表了這個(gè)有名的三角形。上圖所示是這個(gè)三角形最初出現(xiàn)的原始風(fēng)貌。朱世杰甚至沒(méi)有宣揚(yáng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)三角形的榮耀。他用古法來(lái)描述它是用來(lái)找尋二項(xiàng)式系數(shù)。大約在朱世杰之前兩個(gè)世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道這個(gè)可用來(lái)計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)的三角形的模式。

《四元玉鑒》中的另一項(xiàng)突出的成就是關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，朱世杰還進(jìn)一步解決了高次差的招差法問(wèn)題。朱世杰的《四元玉鑒》為推進(jìn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了不可磨滅的重要貢獻(xiàn)。但是，我們?cè)诳吹街焓澜艿呢暙I(xiàn)時(shí)，千萬(wàn)不要忘了，站在他前面逢山開(kāi)路，遇水搭橋的偉大數(shù)學(xué)家李冶的“鑿空”之功！　　

總之，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學(xué)成就，為推進(jìn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了不可磨滅的重要貢獻(xiàn)。由于朱世杰和其他同時(shí)代數(shù)學(xué)家的共同努力，使宋、元時(shí)期的數(shù)學(xué)水平達(dá)到光輝的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國(guó)乃至世界數(shù)學(xué)史上負(fù)有盛名的數(shù)學(xué)家。

朱世杰是中國(guó)數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——宋元時(shí)期最后的也是最偉大的數(shù)學(xué)家。歷史家總是描述他是所有時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家之一。然而，朱世杰的生平卻很少有人知道，就連他生日等確切資料也沒(méi)人知道。他住在現(xiàn)今北平附近的燕山。他曾“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余 年，四方之來(lái)學(xué)者日眾”，說(shuō)明他以數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)為業(yè)游學(xué)四方。