他的父親李遹是金朝的進(jìn)士，一位博學(xué)多才的學(xué)者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，負(fù)責(zé)勘問刑獄的工作。由于胡沙虎篡權(quán)亂政，李遹被迫辭職，隱居在陽翟。他為了防備胡沙虎的迫害，把家中的老小，包括還在童年的李冶送回家鄉(xiāng)。

李冶從小受到父親的言傳身教，他以父親的正直為人和好學(xué)精神為典范。在李冶看來，學(xué)問比財富更可貴。在青少時期，李冶有一個好友叫元好問，他是太原秀容人，詩和古文都很有名，李冶對文學(xué)、史學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)學(xué)都很感興趣，就與元好問出外求學(xué)，拜文學(xué)家趙秉文、楊文獻(xiàn)為師，不久便名聲大振。公元1230 年，李冶赴洛陽應(yīng)試，被錄取為詞賦科進(jìn)士，得高陵主簿官職，但他沒有赴任。當(dāng)時有人稱贊他“經(jīng)為通儒，文為名家”。后到鈞州（今河南禹縣）當(dāng)知事。

1232年，蒙古軍攻破了鈞州城，李冶棄職北走，隱居在晉北峰山的桐川。他在經(jīng)過一段時間的顛沛流離之后，就在崞縣的桐川定居下來。此時他已年過40。金朝的滅亡，使李冶感到政事已無可為，于是他就潛心研究學(xué)問。雖然生活很艱苦，但有充分的時間進(jìn)行學(xué)術(shù)研究。他的研究工作涉及數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、 醫(yī)學(xué)等。他居住的屋子里，四面墻邊堆的都是書，別人都感覺受不了，他在里面卻覺得很舒服。與李冶同時代的硯堅說他，世間的書只要是他看見的，沒有他不研究的，甚至是“薄物細(xì)故”，從不遺漏。

李冶認(rèn)為，數(shù)學(xué)雖然在六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）的最后一位，但是把它放在“人事”中來看，卻是最重要的學(xué)問，于是他把大部分的精力用于研究數(shù)學(xué)。他主要研究的是天元術(shù)。

中國最早的代數(shù)成就——“天元術(shù)”

宋元時期高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，引起了對列方程方法的需求。 隨著數(shù)學(xué)問題的日益復(fù)雜，迫切需要一種一般的、能建立任意次方程的方法，天元術(shù)便是在這樣的背景下產(chǎn)生而發(fā)展起來的。

中國列方程的思想可追溯到《九章算術(shù)》。該書是在東漢前期成書，全書分為九章，其中第八章《方程》，是使用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń�立了二次方程，但沒有明確的未知數(shù)概念。到唐代公元6 世紀(jì)下半葉，王孝通已能列出三次方程。他在《緝古算術(shù)》討論了四類問題的求解。第一類是天文學(xué)中的計算問題；第二類是土木工程中的土方問題，主要是求體積，根據(jù)已知條件計算其體積及長、寬、高，另一方面從已知的某一部分體積及某些參數(shù)求其長、寬、高等。問題之復(fù)雜超過了以往任何算經(jīng)。第三類求各種形狀的倉房、地窖的高、廣、徑問題。第四類是已知勾、股、弦三事二者之積或差，求 勾、股、弦的問題。后三類問題大都?xì)w結(jié)為一個方程。王孝通雖然能列出三次方程，但他不懂天元術(shù)，完全是用幾何方法推導(dǎo)方程，所以需要很高的技巧，不易被一般人掌握。

實際上，在宋之前的方程理論一直受幾何思維束縛，如常數(shù)項只能為正，因為常數(shù)通常是表示面積、體積等幾何量的；方程次數(shù)不高于三次，因為高于三次的方程就難于找到幾何解釋了。王孝通的四次方程，是通過兩次開平方解決的。經(jīng)過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了。

在流傳下來的宋元數(shù)學(xué)著作中，最早對天元術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)介紹的是李冶的《測圓海鏡》（1248）和《益古演段》（1259）兩部著作。天元術(shù)是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法，是我國早期使用的一種半符號代數(shù)，當(dāng)時它還很不成熟，因此李冶決心把天元術(shù)改造得更加完善。 、

花一生心血寫兩部數(shù)學(xué)專著，用五常精思致力成就“天元術(shù)”

 李冶將一生的心血化為兩本珍貴專著《測圓海鏡》12卷（1248年）和《益古演段》3卷（1259年）。他在病危時對其子克修說：“測圓海鏡一書，雖九九小數(shù)，五常精思致力焉，后世必有知者”。他鄭重地叮囑兒子，千萬要保存好，不要把它們燒毀了�？墒窃诋�(dāng)時社會環(huán)境下，李冶的工作還不能被當(dāng)時學(xué)者的理解，《測圓海鏡》和《益古演段》兩書，是在李冶逝世后三十年才得以付印的。這兩本也成為我國和世界至今保留下來的有關(guān)天元術(shù)研究的最早、最完整而詳細(xì)的著作。

 在李冶之前，天元術(shù)還比較幼稚，記號混亂，演算比較煩瑣麻煩。李冶在對早期天元術(shù)問題進(jìn)行了分析之后，對“天元術(shù)”進(jìn)行了比較大的改進(jìn)。他認(rèn)識到，只有擺脫幾何思維束縛，建立一套不依賴于具體問題的固定程序，才能實現(xiàn)上述目的。

李冶的《測圓海鏡》便是天元術(shù)的代表作，他在公元1248年完成了他的代數(shù)名著《測圓海鏡》。他的天元術(shù)與現(xiàn)代列方程的方法極為類似。 李冶總結(jié)出的列方程程序是，首先“立天元一為某某”：這相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)x為某某”的意思；然后依據(jù)題設(shè)條件列出兩個相等的天元式（含未知數(shù)的多項式），尋找兩個等值的而且至少有一個含天元的多項式；最后把兩個等值多項式聯(lián)為方程，通過“相消”化成標(biāo)準(zhǔn)形式     anXn+an-1Xn-1+a0X0=0    李冶創(chuàng)造出了一種比較清晰和簡便的、適于各類問題的列方程的方法。最后利用增乘開方法求這個方程的根。 李治在書中把記多項式的文字省略為一個字，在一次項旁邊記個“元”字，或在常數(shù)項旁邊記個“太”字，使天元術(shù)成為比較簡單的固定形式。這在世界數(shù)學(xué)史上也是處于領(lǐng)先地位的。

我們知道歐洲直到16世紀(jì)下半葉才由韋達(dá)引入了半符號的代數(shù)，它比我國的天元術(shù)至少晚了300年。 西方把韋達(dá)稱為“代數(shù)符號之父”，而韋達(dá)提出用代數(shù)符號的時間卻是在李治使用天元術(shù)300多年之后。      

實際上，《測圓海鏡》中方程各項的符號均無限制，這是代數(shù)學(xué)的一個進(jìn)步。

李冶由于擺脫了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項進(jìn)展：

第一，他改變了傳統(tǒng)的把常數(shù)項看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項可正可負(fù)，而不再拘泥于它的幾何意義。 

第二，李冶已能利用天元術(shù)熟練地列出高次方程。在這里，未知數(shù)已具有純代數(shù)意義，二次方并非代 表面積，三次方程也并非代表體積。

第三，李冶完整解決了分式方程問題，他已懂得用方程兩邊同乘一個整式的方法化分式方程為整式方程。

第四，李冶已懂得用純代數(shù)方法降低方程次數(shù)。當(dāng)方程各項含有公因子xn（n 為正整數(shù)）時，李冶便令次數(shù)最低的項為實，其他各項均降低這一次數(shù)。

《測圓海鏡》不僅是我國現(xiàn)存最早的一部天元術(shù)著作，而且在書的編排上也有創(chuàng)新。全書基本上是一個演繹體系，卷一包含了解題所需的定義、定理、公 式，后面各卷問題的解法均可在此基礎(chǔ)上以天元術(shù)的方法推導(dǎo)出來。李冶以前的算術(shù)，一般采取問題集的形式，各章（卷）內(nèi)容大體上平列。李冶以演繹法著書，這是中國數(shù)學(xué)史上的一個進(jìn)步。

秦九韶是在公元1247年9 月完成他的數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，而李冶的《測圓海鏡》比《數(shù)書九章》 成書的時間相差不過一年。 

 李冶還發(fā)明了負(fù)號，他的負(fù)號與現(xiàn)在不同，是數(shù)字上畫一條斜線。而在國外，德國人是在15 世紀(jì)才引入負(fù)號的。李冶還發(fā)明了一套相當(dāng)簡明的小數(shù)記法，在李冶之前，小數(shù)記法離不開數(shù)名，如 7.59875 尺記作七尺五寸九分八厘七毫五絲。李冶則取消數(shù)名，完全用數(shù)碼表示小數(shù)，純小數(shù)在個位處寫0，帶小數(shù)于個位數(shù)下寫步，如 0.25 記作○＝|||||，這種記法在當(dāng)時算是最先進(jìn)的。直到17 世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家J·納普爾（1550—1617）發(fā)明小數(shù)點后，小數(shù)才有了更好的記法。 

 李冶由于掌握了一套完整的數(shù)字符號及性質(zhì)符號，他的方程已能用符號表示，從而改變以往用文字描述方程的狀況。但這時仍缺少運(yùn)算符號，特別是缺少等號。因此這樣的代數(shù)，只能稱為“半符號代數(shù)”，它是近代符號代數(shù)的前身。大約300 年后，類似的半符號代數(shù)也在歐洲產(chǎn)生了。   

李冶撰寫《益古演段》為推廣普及“天元術(shù)”

北宋數(shù)學(xué)家蔣周寫過一本《益古集》，內(nèi)容多為二次方程，列方程的方法則是幾何方法。李冶讀過蔣周的《益古集》，并用天元術(shù)對這本書進(jìn)行了研究。公元1259 年，李冶的另一本數(shù)學(xué)著作《益古演段》寫成了�！兑婀叛荻巍啡珪�共3卷，64題，主要處理的是平面圖形的面積問題，所求多為圓徑、方邊、周長之類。除四道題是一次方程外，全是二次方程問題，內(nèi)容安排基本上是從易到難。從這個角度來分析，《益古演段》這本書，可能是李冶在教學(xué)過程中為學(xué)生所寫的教材。

《益古演段》在數(shù)學(xué)理論上也有創(chuàng)新。該書的問題同《測圓海鏡》有所不同，所求的量不是一個而是兩個、三個甚至四個。按照古代的方程理論“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之�！睉�(yīng)該用方程組來解，所含方程的個數(shù)與所求的個數(shù)是一致的。但是解二次方程組顯然要比解一元方程困難得多。

李冶是在完成了《測圓海鏡》之后再來寫《益古演段》，他對天元術(shù)的運(yùn)用自然會更加熟練，但是他在這本書中卻沒有像他在《測圓海鏡》中那樣，完全用天元術(shù)來解題。書中新舊二術(shù)并用，新術(shù)是李冶的代數(shù)方法——天元術(shù)；舊術(shù)仍然是蔣周的幾何方法——條段法。條段法是一種圖解的方法，因為方程各項常用一段一段的條形面積表示，所以得名為條段法。這本書深入淺出，揭示了天元術(shù)和條段法的聯(lián)系和區(qū)別，使人們了解條段法向天元術(shù)的過渡過程，他還在書中經(jīng)常使用人們比較易懂的幾何方法對天元術(shù)進(jìn)行驗證，這對人們接受天元術(shù)是有很大幫助的。書中附有一些插圖，不僅有利于教學(xué)，也便于自學(xué)。硯堅為李冶的《益古演段》作《序》，稱贊這本書說：“說之詳，非若溟涬黯淡之不可曉；析之明，非若淺近粗俗之無足觀”。這些特點，使《益古演段》成為一本受人們歡迎的數(shù)學(xué)教材，對天元術(shù)的傳播起了不小的作用。

李冶所處的年代是一個政治動蕩不定的時期，他的研究是在極其困難的條件下進(jìn)行的。特別是在棄官隱居之后，生活更加艱苦，常常是饑寒至不能自存，但他仍以講學(xué)、著書為樂。很多人都譏笑李冶，說他“玩物喪志”，李冶泰然自若。他堅決拒絕了朝廷高官厚祿的誘惑，潛心研究“天元術(shù)”，能做到這一點是非常不容易的。

李冶善于接受前人知識，取其精華。有人問學(xué)于李冶，李冶回答說：“學(xué)有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。這就是說，要去其糟粕，取其精華，并使它成為自己的東西。 李冶反對文章的深奧化和庸俗化，他認(rèn)為文章是寫給別人看，而不是為自己。李冶在《益古演段》序中說：“今之算者，未必有劉（徽）李（淳風(fēng)）之工，而編心踞見，不肯曉然示人唯務(wù)隱互錯揉故為溪滓黯哭，唯恐學(xué)者得窺其仿佛也�！� 他的《益古演段》就是這種主張下的著作。