劉徽所寫的《九章算術(shù)注》在數(shù)學(xué)史有很高價(jià)值的工作

《九章算術(shù)》大約成書在東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法。書中主要包含了解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等內(nèi)容，處于世界領(lǐng)先的地位。但是由于一些解法比較原始，而且對(duì)用到的定理沒(méi)有給出必要的證明，因此劉徽才寫了《九章算術(shù)注》，對(duì)《九章算術(shù)》使用的數(shù)學(xué)概念加以說(shuō)明，對(duì)公式、定理一一作了補(bǔ)充證明；并對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行分析，提出了很多獨(dú)創(chuàng)的見(jiàn)解。 《九章算術(shù)注》充分顯示了劉徽具有多方面的知識(shí)和創(chuàng)造性，也反映其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和深刻的數(shù)學(xué)思想。因此劉徽的《九章算術(shù)注》是一項(xiàng)非常重要的工作，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。劉微在數(shù)學(xué)上有許多杰出的創(chuàng)造。他精辟地研究了開(kāi)方不盡數(shù)，用首創(chuàng)的十進(jìn)分?jǐn)?shù)（小數(shù)的前身）來(lái)刻畫它們，向著無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)邁出了重要的一步。 劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。

 劉徽的“割圓術(shù)”的方法

我們知道，秦之前，人們使用的古率是3， 在《九章算術(shù)》中用的圓周率是3，從西漢末年開(kāi)始，新率才 陸續(xù)出現(xiàn)，但仍然是很不精確，并且沒(méi)有推算方法。直到三國(guó)時(shí)期，劉徽提出了用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)逼近圓周長(zhǎng)的思想。他是中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一位用科學(xué)的方法 來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家。

劉徽割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，就是說(shuō)分割越細(xì)，誤差就越小，無(wú)限細(xì)分就能逐步接近圓周率的實(shí)際值。他很清楚圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，所求得的π值越精確這一點(diǎn)。

劉徽用割圓的方法，從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始算起，將邊數(shù)一倍一倍地增加，即12、24、48、96…，因而逐個(gè)算出六邊形、十二邊形、二十四邊形……的邊長(zhǎng)，這些數(shù)值逐步地逼近圓周率。他做圓內(nèi)接96邊形時(shí)，求出的圓周率是3.14，這個(gè)結(jié)果已經(jīng)比古率精確多了。他算到了圓內(nèi)接正3072邊形，得到圓周率的近似值為3.1416。劉徽首次用理論的方法算得 圓周率為157/50和3927/1250。

劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”的方法，可以說(shuō)他是中國(guó)古代極限思想的杰出代表，不僅為200年后祖沖之的圓周率計(jì)算提供了思想方法與理論依據(jù)，也對(duì)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了很大的影響。

劉徽對(duì)面積與體積的研究

像阿基米德一樣，劉徽集中精力研究了面積與體積公式的推證，并取得了超越時(shí)代的漂亮結(jié)果。 劉徽的面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，就是“出入相補(bǔ)”原理：一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。

劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。為了求得由底為直角三角形的直棱柱分割而成的一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱錐的體積之比，他采用無(wú)限分割、逐次拼合的方法建立了“劉徽原理”。在研究各種體積問(wèn)題時(shí)，他又創(chuàng)造性地運(yùn)用兩立體圖形相應(yīng)截面面積之間的關(guān)系確定它們體積之間的關(guān)系，200多年后被祖沖之的兒子概括為著名的“劉祖原理”。

在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。關(guān)于球體積的計(jì)算， 劉徽首先指出了《九章算術(shù)》中的球體積公式是不正確的， 并在《九章算術(shù)》“開(kāi)立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球體積公式的正確途徑。

劉徽取得了廣泛而又深入的研究成果

劉徽的《九章算術(shù)注》在世界數(shù)學(xué)史上也占有重要的地位，現(xiàn)在它已經(jīng)成為世界科學(xué)名著，被譯成多種文字出版。劉徽的《九章算術(shù)注》的最主要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，開(kāi)創(chuàng)了圓周率研究的新階段。他得到π的近似值是3927/1253（即3.1416），這個(gè)數(shù)據(jù)的精確度在當(dāng)時(shí)是比較高的，可以說(shuō)世界領(lǐng)先的。此外，劉徽在給《九章算術(shù)》作注中，還運(yùn)用了“齊同術(shù)”、“今有術(shù)”、“圖驗(yàn)法”、“棋驗(yàn)法”等各種計(jì)算方法。

劉徽《九章算術(shù)注》還有其他許多數(shù)學(xué)成果，特別是他在《九章算術(shù)》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術(shù)注》第十卷，后來(lái)單獨(dú)刊行，稱為《海島算經(jīng)》。劉徽在書中精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目具有的創(chuàng)造性和復(fù)雜性都是為當(dāng)時(shí)的西方所矚目的�！逗�島算經(jīng)》對(duì)勾股理論做出了重要推進(jìn)，發(fā)展了古代天文學(xué)中的“重差術(shù)”，為傳統(tǒng)的二次測(cè)量方法——重差述重建理論基礎(chǔ)，并將其發(fā)展為三次、四次測(cè)量，成為勾股測(cè)量學(xué)的典籍。 此外，他對(duì)《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論、比率理論、方程理論都做出了重要推進(jìn)。

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人。劉徽的一生是刻苦鉆研數(shù)學(xué)，探求真理的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。