作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。如圖考慮以一直角三角形的勾和股為邊的兩個(gè)正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有a2 + b2
。如果將這合并圖形所含的兩個(gè)三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，將得到一個(gè)以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為c2，
因此a2 + b2 = c2。趙爽這一簡(jiǎn)潔優(yōu)美的證明，可以看作是對(duì)《周髀算經(jīng)》中緊接在“勾三股四弦五”
特例之后的一段說(shuō)明文字的詮釋?zhuān)吨荀滤憬?jīng)》的這段文字說(shuō)：“既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三、四、五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩”。
趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀(guān)性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。正如當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的……十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”
趙爽是中國(guó)古代最早對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的數(shù)學(xué)家之一，他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的，由于他取得的成就，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。
趙爽在“勾股圓方圖”說(shuō)中還類(lèi)似地證明了勾股定理的許多推論,，此外他還給出了一張“日高圖”，是用面積出入相補(bǔ)的方法去證明《周髀算經(jīng)》中的日高公式。 |
