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丟番圖主要數(shù)學(xué)著作《算術(shù)》
比較確切知道的是丟番圖有兩部著作，一是《算術(shù)》，大部分保存了下來；另一個(gè)是《多角數(shù)》，只有少部分留下來。另外在《算術(shù)》中幾次提到過的是《推論集》，可能是若干數(shù)論問題的獨(dú)立匯編，也可能是附屬在《算術(shù)》中的失傳部分。此外，伊安布利霍斯（約公元250—約330年）所著《尼科馬霍斯〈算術(shù)〉評(píng)注》一書的注釋者還提到丟番圖的另外一本書《分?jǐn)?shù)算法》，是討論有關(guān)分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的，可惜已失傳。
《算術(shù)》是丟番圖最重要的著作，也是代數(shù)史上的一部影響深遠(yuǎn)的著作。它在歷史上影響之大可以和歐幾里得《幾何原本》一比高下。這書的序中說，全書共有13卷。保留至今天的只有6
卷。相傳其余7 卷在10世紀(jì)以前已經(jīng)失傳。5世紀(jì)時(shí)希帕提婭（Hypatia）注釋這部書，只注了6卷，這也許是其余各卷被人忽視最終失傳的原因。
最早具有代數(shù)學(xué)特征的著作
希臘時(shí)代“算術(shù)”一詞，主要指“數(shù)的理論”，即相當(dāng)于現(xiàn)在的“數(shù)論”。而數(shù)字的加、減、乘
、除等運(yùn)算則叫做“計(jì)算的技巧”，兩者有明顯的區(qū)別。這種分法從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代開始，一直延續(xù)到近代，如高斯的數(shù)論名著就叫做《算術(shù)研究》（1801）。
丟番圖《算術(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程。現(xiàn)在對(duì)于具有整系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程。它是數(shù)論的一個(gè)分支。不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)而只要求是正有理數(shù)�！ �
從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，根據(jù)問題的條件列出方程，然后解方程求出未知數(shù)。
《算術(shù)》也有未知數(shù)，這未知數(shù)一般就是問題的答案，一切運(yùn)算只允許對(duì)已知數(shù)來施行。在代數(shù)中既然要對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，就需要用某種符號(hào)來表示它。從引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)符號(hào)以及建立方程的思想（雖然未有現(xiàn)代方程的形式）這幾方面來看，丟番圖《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)。當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)沒有專門的名稱，algebra是9世紀(jì)花拉子米以后才出現(xiàn)的名詞，而且直到17世紀(jì)還沒被歐洲人普遍接受。在《算術(shù)》中，丟番圖采用了一套數(shù)學(xué)符號(hào)來表示未知量
，他也是首位用符號(hào)來表示冪的數(shù)學(xué)家。丟番圖將這方面的成果冠以算術(shù)之名是很自然的。他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”也是有一定道理的。
《算術(shù)》以問題集的形式收錄了290個(gè)題目，其中希臘文本189個(gè)，阿拉伯文本101個(gè)，此外還有十幾個(gè)引理和推論，合起來共三百多個(gè)問題。大體上按由易到難排列，但很難看得出是用什么標(biāo)準(zhǔn)來分類的。解題的方法也是五花八門，沒有一定的法則。數(shù)學(xué)史家漢克爾(Hankel，1839—1873)說：“近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖的100個(gè)題后，去解101個(gè)題，仍然感到困難�！瓉G番圖使人眼花繚亂甚于使人欣喜”。這話稍嫌夸張，卻抓住了問題的要害。丟番圖沒有著力去探求一般性的解法，或去研究多種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是《算術(shù)》的最大缺點(diǎn)。
“丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用。”——
伊夫斯
希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命他才是可靠的。為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣，一切代數(shù)問題，甚至簡(jiǎn)單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆。
例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的關(guān)系，在歐幾里得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理(卷Ⅱ命題4)，而在丟番圖《算術(shù)》中只是簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算法則的必然結(jié)果�！�
人們認(rèn)為《算術(shù)》是希臘數(shù)學(xué)的劃時(shí)代杰作�！端阈g(shù)》的核心內(nèi)容是關(guān)于以代數(shù)手法解方程和不定方程的研究。這里的方法不依賴于幾何證明。關(guān)于整系數(shù)方程的整數(shù)解的研究是當(dāng)今數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。這一分支被稱之為丟番圖方程。尋找畢達(dá)哥拉斯的三元組就是一個(gè)這樣的例子。丟番圖還使用了介于文體和完全的符號(hào)代數(shù)之間的一種過渡性的代數(shù)符號(hào)體系。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把《算術(shù)》翻譯成了阿拉伯語并加以廣泛研究。
丟番圖在解題過程中使用了許多高超的技巧，可以說在希臘數(shù)學(xué)中是獨(dú)樹一幟。有的數(shù)學(xué)史家說，如果丟番圖的著作不是用希臘文寫的，人們就不會(huì)想到這是希臘人的成果，因?yàn)榭床怀鲇泄诺湎ＥD數(shù)學(xué)的風(fēng)格，從思想方法到整個(gè)科目結(jié)構(gòu)都是全新的。如果沒有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數(shù)。有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人。
費(fèi)馬感興趣的公式
在《算術(shù)》第2卷的第8題是關(guān)于不定方程的：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。例如將16分成兩個(gè)平方數(shù)。設(shè)一個(gè)平方數(shù)是x2，那么另一個(gè)是16-x2，現(xiàn)要求16-x2是一平方數(shù)。即16-x2=M2不妨設(shè)M=mx-4，其中m是某一整數(shù)，而4是16的平方根。例如令m=2，于是16-x2=4x2-16x+16，立刻得到x=16/5
。 前面已經(jīng)提到，費(fèi)馬對(duì)這一命題很感興趣，在旁邊的空白處寫下著名的“費(fèi)馬大定理”。大約是在 1637年左右，費(fèi)馬在看到這個(gè)題目：“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”時(shí)，在書頁的空白處寫出了著名的“費(fèi)馬大定理”。1670年費(fèi)馬的兒子將他父親的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉對(duì)照本近代，不包括新發(fā)現(xiàn)4卷的“丟番圖全集”，標(biāo)準(zhǔn)版本是唐內(nèi)里（Tannery，1843—1904，法國(guó)數(shù)學(xué)史家）編輯、校訂的希-拉對(duì)照本《亞歷山大的丟番圖全集，包括希臘文注釋》。以后又有巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校訂注釋的希臘-拉丁文對(duì)照本《亞歷山大的丟番圖算術(shù)6卷，多角數(shù)1卷》。
丟番圖享年之謎
在《希臘詩(shī)文選》中，收錄了一個(gè)特別有趣的丟番圖墓志銘：
墳中安葬著丟番圖，
多么令人驚訝，
它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。
上帝給予的童年占六分之一，
又過十二分之一，
兩頰長(zhǎng)胡，
再過七分之一，
點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。
五年之后天賜貴子，
可憐遲到的寧馨兒，
享年僅及其父之半，
便進(jìn)入冰冷的墓。
悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，
又過四年，
他也走完了人生的旅途。
用這樣的方式記載了他享年的秘密，即“丟番圖的一生，童年生活占1/6 ，再過1/12 他開始長(zhǎng)胡子，再過1/7 他結(jié)了婚，婚后 5 年生了一個(gè)兒子。他的兒子比他早 4 年辭世，享年是他的1/2
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這相當(dāng)于一元一次方程： 
x=84。由此知他享年84歲。
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