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1 圖論
惠特尼一生對(duì)四色問題感興趣，他最早和最后的數(shù)學(xué)論文都是關(guān)于四色問題的。他給出四色問題的等價(jià)命題并研究可約性問題。從四色問題出發(fā)他研究一般圖論，特別是得出兩圖同胚的條件。他定義圖的連通度，并給出n重連通的充分必要條件。他還定義圖G的對(duì)偶G＇，證明圖G可嵌入平面的充分必要條件是G具有對(duì)偶圖G＇，從而給著名的庫拉托夫斯基不可嵌入平面圖的定理一個(gè)直接的組合證明。
惠特尼
的博士論文是關(guān)于圖的著色問題，其中證明M(λ)的公式并進(jìn)行計(jì)算，這里M(λ)是用λ種顏色給一圖不同著色方法數(shù)，他引進(jìn)一組數(shù)mij，它們不僅可用來計(jì)算M(λ)，還可定義圖G的拓?fù)洳蛔兞�；其中R為圖G的秩，N為G的零度。他利用這些不變量研究圖的分類問題。
惠特尼在組合論方面的最大成就是他引進(jìn)擬陣?yán)碚�，這是一種抽象的線性相關(guān)性理論，它不僅包含圖論為其特例，而且還包括網(wǎng)絡(luò)理論、綜合幾何以及橫截理論等。
2 可微映射和奇點(diǎn)理論
（1）可微函數(shù)的解析延拓
惠特尼對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的主要貢獻(xiàn)是建立微分拓?fù)鋵W(xué)，為此，必須將拓?fù)鋵W(xué)考慮的連續(xù)映射推廣到可微情形�；萏啬嵩谒缙诠ぷ髦�(1932—1942)就為此奠定基礎(chǔ)。
1925年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家烏雷松證明，如A是n維歐氏空間E中的閉集(有界或無界)，f(x)為A中定義的連續(xù)函數(shù)，則f可延拓成為整個(gè)E上的連續(xù)函數(shù)F�；萏啬嵩�1932年證明，存在F不僅連續(xù)，而且在E—A上可微，甚至解析；如果f(x)在A中屬于Cm，則在A中F與f相等，且F的到m階的各階導(dǎo)數(shù)與f的各階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)相等。其后他又考慮A為任意子集合的情形。他還研究泰勒展開的余項(xiàng)的可微性問題，這些對(duì)研究奇點(diǎn)理論很重要。
（2）奇點(diǎn)理論
奇點(diǎn)理論是惠特尼最重要的創(chuàng)造之一，它來源于微分嵌入及浸入問題，奇點(diǎn)是臨界點(diǎn)的推廣。
1942年他首先研究n維歐幾里得空間En到E2n-1的微分映射f的奇點(diǎn)。1955年，他首先對(duì)于平面E2到E的奇點(diǎn)類型進(jìn)行分類；結(jié)果只有兩類，一類是折點(diǎn)(fold)，另一類是尖點(diǎn)(Cusp)。
通過這篇論文，開創(chuàng)了奇點(diǎn)理論。這個(gè)基本的奇點(diǎn)分類問題連同其他問題形成了奇點(diǎn)理論的熱門。同年托姆運(yùn)用自己的橫截理論以及普遍開折理論首先取得突破，這項(xiàng)研究成為后來他的突變理論的基礎(chǔ)。其后1968—1971年麥澤(Mather)建立穩(wěn)定性理論及決定性理論，1967年起以蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德為首的蘇聯(lián)學(xué)派在理論及應(yīng)用方面取得輝煌的成就�！ �
1948年惠特尼還發(fā)表了“論可微函數(shù)的理想”，這開辟了奇點(diǎn)理論另一個(gè)新方向。后來馬格朗日等人在這方面取得了很大突破。
（3）分層理論
分層理論是惠特尼最后創(chuàng)造的理論，從某種意義上說，也是奇點(diǎn)理論的自然延續(xù)。通常研究的歐氏空間及流形均有很好的齊性結(jié)構(gòu)（局部具有相同的結(jié)構(gòu)），但這點(diǎn)即使對(duì)代數(shù)簇也不滿足，特別是由解析幾何延續(xù)下來的實(shí)代數(shù)簇一般存在奇點(diǎn)。從1957年到1965年惠特尼研究實(shí)代數(shù)簇的拓?fù)鋵W(xué)，并討論把簇分解為流形，1957年引進(jìn)惠特尼層化的概念，并且對(duì)代數(shù)簇及解析簇進(jìn)行層化分解，這概念后來被托姆發(fā)展成分層集理論，在奇點(diǎn)的局部及大范圍研究中起重要作用。1965年武雅謝維茨證明任何半解析集均有惠特尼分層。1965年惠特尼對(duì)解析簇定義了切向量、切平面族及切錐的概念，并考慮剖分時(shí)切集的協(xié)調(diào)問題。
3 微分流形的拓?fù)鋵W(xué)
雖然龐加萊甚至黎曼已研究微分流形的拓?fù)鋵W(xué)，但是由于工具不足，真正創(chuàng)立微分流形的拓?fù)鋵W(xué)
的。在這篇論文中，他證明了一些最基本的定理，特別是嵌入及浸入定理：任何n維微分流形均可微分嵌入在R2n+1(2n+1維歐氏空間)中，均可微分浸入在R2n中。1944年他又改進(jìn)為n維微分流形可嵌入于R2n中，可浸入于R2n-1中。對(duì)于某些流形，這些結(jié)果已臻至善。這個(gè)工作開拓了微分流形的一個(gè)重要領(lǐng)域，其后，吳文俊等許多拓?fù)鋵W(xué)家做出了貢獻(xiàn)。
4 纖維叢及示性類
惠特尼在1935年首次定義真正的“纖維空間”，當(dāng)時(shí)他稱為“球空間”，1940年他改稱為“球叢”，在1937年及1941年他對(duì)此作兩個(gè)報(bào)告，包括許多根本的結(jié)果，他還打算對(duì)此寫一本書，始終沒有完成。他的興趣一直集中于“示性類”上。他于1936年和瑞士數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在1935年獨(dú)立地定義這種示性類，后來稱為施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類。他的目的是用示性類來研究微分流形的拓?fù)鋵W(xué)。對(duì)此，纖維叢只是一個(gè)工具，所以他的定義并非每一細(xì)節(jié)都講得很清楚，但是他的定義是很一般的。1940—1950年間，纖維叢成為研究許多拓?fù)鋯栴}(特別是同倫、同調(diào)及微分幾何問題)的主要工具。1949／1950年度的嘉當(dāng)討論班以纖維叢為專題進(jìn)行系統(tǒng)討論，1951年斯廷洛德的專著《纖維叢的拓?fù)鋵W(xué)》的出版，標(biāo)志著纖維叢理論的成熟，其中惠特尼做出突出貢獻(xiàn)。
惠特尼主要研究纖維叢的分類問題和有關(guān)示性類等問題。施蒂費(fèi)爾只考慮微分流形的切叢的示性類，而惠特尼考慮的要廣得多，他考慮任意球叢(E，B，P)的底空間B也可以是任意局部有限的單純復(fù)合形�；萏啬徇�給出示性類的形式冪級(jí)數(shù)以及偶示性類的概念。至此，施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類的理論基礎(chǔ)正式建立。其后，米爾諾(Milnor)以惠特尼提出的四個(gè)定理為公理開展示性類理論，而且其他的示性類特別是龐特里亞金示性類及陳省身示性類也是依據(jù)施蒂費(fèi)爾-惠特尼示性類的模式定義及研究的。
示性類在拓?fù)鋵W(xué)及幾何學(xué)巾起著極為重要的作用，惠特尼本人主要應(yīng)用示性類來研究浸入問題。例如，他證明8維實(shí)射影空間P8(R)不能浸入到R14中，但能浸入在R15中，他的理論后來為吳文俊等所發(fā)展。
5 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)
1935年是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其主要標(biāo)志是上同調(diào)理論與同倫理論的建立。在龐加萊引入同調(diào)概念40年后，四位數(shù)學(xué)家?guī)缀跬瑫r(shí)獨(dú)立地引入上同調(diào)概念，他們是亞歷山大、惠特尼、切赫、柯爾莫哥洛夫。當(dāng)其他三位在1935年莫斯科會(huì)議宣布結(jié)果時(shí)，惠特尼的結(jié)果已經(jīng)發(fā)表，上同調(diào)類由于有上積，從而有環(huán)結(jié)構(gòu)，比同調(diào)包含更多的拓?fù)湫畔ⅰ?
惠特尼在1936年給出過2維復(fù)形到2維或3維射影空間的映射同倫的代數(shù)條件，但未發(fā)表。1941年，羅賓斯推廣到2維復(fù)形到任何空間的映射的同倫分類，后來奧蘭姆又大規(guī)模地予以簡(jiǎn)化及推廣。對(duì)3維復(fù)形，龐特里亞金在1941年考慮它到S2的映射同倫分類，其中首先應(yīng)用新出現(xiàn)的上積。其實(shí)惠特尼早在1936年已得出相應(yīng)結(jié)果。
1948年，惠特尼研究單連通空間R的第二及第三同倫群的關(guān)系，并據(jù)此給出3維復(fù)形k到R中兩個(gè)連續(xù)映射同倫的充分必要條件以及映射擴(kuò)張的阻礙類。還應(yīng)該指出，1938年惠特尼引進(jìn)阿貝爾群的張量積概念，這對(duì)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)及同調(diào)代數(shù)是必不可少的工具。
6 幾何積分論
1946—1957年間，惠特尼建立幾何積分論。它是更一般的積分理論，例如n維空間中的r維積分。借此，他給上鏈、上閉鏈等一個(gè)解析的解釋，例如幾何上鏈?zhǔn)翘幱凇耙话阄恢谩钡钠娈愭溕系暮瘮?shù)。這樣，他把嘉當(dāng)及德·拉姆的外微分形式理論中的可微條件換成李普希茨條件得出的積分理論等價(jià)于代數(shù)上同調(diào)理論，對(duì)于更一般的李普希茨空間也成立，它包括多面體及絕對(duì)鄰域收縮核為其特例，特別是把斯托克斯定理推廣到李普希茨空間上，他的理論總結(jié)在《幾何積分論》(1957)一書中。
胡作玄
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