哈密頓在物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域里都有杰出的成就，他是一位勤奮工作而酷愛(ài)真理的人。他和妻子在一起散步的橋頭，已經(jīng)有一個(gè)紀(jì)念碑。

四元數(shù)是由哈密爾頓在 1843年愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)的。愛(ài)爾蘭有一個(gè)很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。在電影《勇敢的心》中，有一柄長(zhǎng)劍，叮地插在大地之上，長(zhǎng)劍在風(fēng)中微顫，你仿佛聽(tīng)見(jiàn)愛(ài)爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數(shù)學(xué)的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數(shù)是一個(gè)豐碑。從物理學(xué)上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是相互感應(yīng)，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。 

兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。

兩個(gè)四元數(shù)相加只要將對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個(gè)四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個(gè)四元數(shù)被另一個(gè)四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊(yùn)含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時(shí)，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒(méi)有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價(jià)值，他還是能用它們來(lái)解決大量的物理和幾何問(wèn)題。

四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動(dòng)。它是一個(gè)確確實(shí)實(shí)有實(shí)際用途的代數(shù)，卻不具備所有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì)，即 ab=ba。

哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對(duì)它們也可進(jìn)行通常的代數(shù)運(yùn)算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒(méi)有乘法可交換性。而且即使兩個(gè)矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過(guò)是許多性質(zhì)越來(lái)越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個(gè)中學(xué)教師，因此過(guò)了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無(wú)論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱(chēng)為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。

為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒(méi)有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實(shí)用性是無(wú)可質(zhì)疑的。也許真理本質(zhì)上就是難以捉摸的，或者如羅馬哲學(xué)家塞涅卡所說(shuō)：“自然界不會(huì)一下子披露她所有的秘密�！�

如果幾個(gè)力作用于一個(gè)物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會(huì)總在同一平面上。如果為了方便起見(jiàn)將通常實(shí)數(shù)稱(chēng)為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來(lái)表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運(yùn)算呢？人們希望對(duì)這種三維數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算，類(lèi)似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿(mǎn)足通常實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運(yùn)算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始尋找一種稱(chēng)為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。

有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問(wèn)題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類(lèi)似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過(guò)他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個(gè)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

a+bi+cj+dk    i2=j2=k2=－1  兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。

當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河散步,突然靈感撲面而來(lái),他在橋上寫(xiě)下乘法表: i2＝j(luò)2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j(luò)，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。

這是一個(gè)普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋（現(xiàn)稱(chēng)為金雀花橋 Broom Bridge）。 
哈密頓創(chuàng)造了把四元數(shù)描繪成一個(gè)有序的四重實(shí)數(shù)：一個(gè)標(biāo)量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。

根據(jù)上述乘法表，四元數(shù)顯然是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充，它將復(fù)數(shù)作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復(fù)數(shù)。但這種數(shù)對(duì)乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺(jué)地想到：必須犧牲交換律，于是第一個(gè)非交換律的代數(shù)誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比如從小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)始,沒(méi)有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實(shí)埋藏?zé)o窮秘密。

哈密頓的這個(gè)創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)算術(shù)的束縛中解放出來(lái)，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既可來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象也可以來(lái)自人類(lèi)的思維的自由創(chuàng)造，這種思想引起了代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一次質(zhì)的飛躍，現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門(mén)被打開(kāi)了。只有在4維歐空間之上，唐納森發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮多微分結(jié)構(gòu)。loop量子引力被人詬病，因?yàn)樗�不能回答為什么時(shí)空是4維的，但上帝用數(shù)學(xué)來(lái)回答。

在19世紀(jì)到20世紀(jì)，哈密頓之后，物理學(xué)家洛侖次寫(xiě)了厚厚的《電子論》，Lorentz的《The Theory of Electrons》總共三百多頁(yè)，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)電子。這是歷史上一個(gè)偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應(yīng)該注意到，在洛侖次力公式 f=qE+vX B 出現(xiàn)了點(diǎn)乘與叉乘。

這個(gè)是一個(gè)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)里的假設(shè),但可以相信，這個(gè)假設(shè)說(shuō)明，在四元數(shù)中,結(jié)合方法必須既有點(diǎn)乘又有叉乘，這個(gè)假設(shè)是實(shí)驗(yàn)證實(shí)的，所以洛侖次是偉大的。

電磁理論與四元數(shù)的結(jié)合是自然的，天然的，同時(shí)是微妙的。因?yàn)殡姶艌?chǎng)在四維時(shí)空才是天然的。