霍姆伯厄后來回憶道：“阿貝爾沉迷進數(shù)學，他以驚人的熱忱和速度向這門科學進軍。在短期內(nèi)阿貝爾學了大部分的初級數(shù)學，在他的要求下，我私人教授他高等數(shù)學。過了不久他自己讀法國數(shù)學家泊松的作品，念德國數(shù)學家高斯的書，特別是拉格朗日的書。他已經(jīng)開始研究幾門數(shù)學分支”。就這樣，阿貝爾很快掌握了經(jīng)典著作中最難懂的部分，包括高斯的《算術(shù)研究》。從那以后，真正的數(shù)學就不僅是他的嚴肅工作，而且成為他著迷的愛好。若干年后，有人問起他是怎樣設法迅速地趕到前面去的，他回答：“靠學習大師們，而不是學習他們的學生”。 

阿貝爾18歲的時候，父親過早地去世了，照顧母親、精神不正常的哥哥和五個弟妹的家庭重擔落到了阿貝爾一人身上。在艱難困苦中，他堅持不斷地工作。中學最后一年，阿貝爾開始了他第一個抱負非凡的冒險：解決一般五次方程的求解問題。這是一個已經(jīng)困擾了數(shù)學界200多年的難題。開始時他以為自己找到了求解公式，但很快他發(fā)現(xiàn)自己的推理中存在漏洞，這促使他走到了另一條道路。1824年．阿貝爾證明了一般五次方程及高于五次的方程不存在根式解。1825年，他將自己的論文寄給偉大的高斯，但高傲的高斯以為又是一位嘩眾取寵的年輕人的鬧劇，于是在看都沒看一眼的情況下就把阿貝爾的偉大成果拋到了一邊。在這一不幸的事件中，受到損失的不單是阿貝爾而且還有整個數(shù)學。

1825年，在朋友們的幫助下，阿貝爾得到政府的資助使他能夠到國外去拜訪歐洲其他國家的著名數(shù)學家。然而，在這些已成名的數(shù)學家那里，阿貝爾沒有得到多少有益的幫助。

唯一幸運的是在柏林他遇到了一位業(yè)余數(shù)學愛好者：克列爾。這是他一生中第二個對他的事業(yè)有極大幫助的人�？死谞栐�1826年創(chuàng)辦了世界上第一個專門從事數(shù)學研究的定期刊物《純數(shù)學與應用數(shù)學雜志》。阿貝爾在該雜志前三卷上共發(fā)表了22篇論文。論文的內(nèi)容涉及廣泛，包含了方程論、無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)論等多方面的內(nèi)容。這表明，阿貝爾在做出自己第一項偉大發(fā)現(xiàn)后不久，就將創(chuàng)造力轉(zhuǎn)向了更廣泛的問題。 1826年，他把自己一生最重要的杰作寄給法國科學院。這一杰作將會開辟研究橢圓函數(shù)的廣闊領(lǐng)域，但負責審閱這一論文的柯西等人卻完全忽略了這一偉大的發(fā)現(xiàn)。當它正式發(fā)表之時，已是1841年了。

1827年，由于未能找到合適的職位，阿貝爾返回祖國挪威。此后的生活變得更為悲慘。起初他沒有找到任何固定的工作，只能以私人授課維持生計，“窮得就象教堂里的老鼠”。1828年他總算在一所大學里擔任代課教師，但在這之前經(jīng)常的貧困和傷心，把他的身體搞垮了。他得了肺結(jié)核病。1829年4月6日，他病死了，年僅26歲零八個月。一個極富數(shù)學才華的青年就這樣不情愿地拋下自己熱愛的科學，離開了這個世界。

在阿貝爾極其短暫的數(shù)學生涯中，他留下的是多方面的非凡貢獻：他首次證明一般五次和高于五次的方程不存在根式解；他是橢圓函數(shù)論的奠基人之一，這一被后來人稱為也許是19世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)，“給數(shù)學家們留下了夠他們忙上一百五十年的東西”（埃爾米特語）；他為無窮級數(shù)理論奠定嚴密的基礎(chǔ)；他求解了第一個積分方程……    

阿貝爾去世后兩天，熱心的克列爾寄來一封信說，他將被任命為柏林大學的數(shù)學教授。姍姍來遲的榮譽在阿貝爾死后終于降臨了。作為對他多項成就的肯定，數(shù)學上以阿貝爾命名的術(shù)語、概念和定理就有幾十個。為了紀念自己國家這位偉大的天才數(shù)學家，挪威在1902年時就有意設立一項阿貝爾獎，但因故未能實現(xiàn)。而今，在新世紀之初，阿貝爾誕辰200周年之際，這一設想終于變成了現(xiàn)實。

 挪威詩人約恩松在紀念挪威數(shù)學家阿貝爾的詩中寫道：

2002年為了紀念挪威天才數(shù)學家阿貝爾誕辰200周年，挪威財政部撥款２億挪威克郎（約合2200萬美元）設立了阿貝爾紀念基金，基金的收益將用于阿貝爾獎獎金、阿貝爾獎頒獎典禮和青少年數(shù)學教育活動。挪威政府設立這項獎金的宗旨在于提高數(shù)學在社會中的地位，同時激勵青少年學習數(shù)學的興趣。