傅立葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”它已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。付里葉也很重視數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，他很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，付里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念 ，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，1801年付里葉回法國，擔(dān)任過伊澤爾地區(qū)的行政長官。當(dāng)然他還一之堅(jiān)持熱學(xué)研究。

提交論文遭拒絕，繼續(xù)研究修改成正果“付里葉級數(shù)和付里葉積分”

傅立葉的主要貢獻(xiàn)是他在研究熱傳導(dǎo)問題時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。早在1807年傅立葉就寫成了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文，他在向法國科學(xué)院呈交的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉的創(chuàng)造性工作是他推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法——傅立葉級數(shù)法，從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展。

這篇論文經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。不過他們還是鼓勵(lì)他繼續(xù)鉆研并發(fā)展自己的思想。

1811年傅立葉又提交了他修改后的論文，在里面提出了傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的創(chuàng)新思想和方法，因而這篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題論文獲得了1812年科學(xué)院大獎，但是這篇論文因?yàn)樵谡撟C方面仍然缺乏嚴(yán)密性而未能在科學(xué)院的院刊《科學(xué)院報(bào)告》上正式發(fā)表。

1822年傅立葉出版了他的專著《熱的解析理論》，他在書中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19 世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。書中包括了他處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級數(shù)和三角積分的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就�！稛岬慕馕隼碚摗芬殉蔀閿�(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，他的學(xué)生以后把它們稱為傅立葉級數(shù)和傅立葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。在書中傅立葉斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件，例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù)，他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。

傅立葉在《熱的解析理論》中提出的三角級數(shù)（即傅立葉級數(shù)）、傅立葉分析等理論，將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅立葉的名字命名。傅立葉應(yīng)用三角級數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程，同時(shí)為了處理無窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題又導(dǎo)出了現(xiàn)在所稱的“傅立葉積分”，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅立葉的工作意義遠(yuǎn)不止此，它迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個(gè)19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程。此外傅立葉在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)還有，他是最早使用定積分符號的，他還改進(jìn)了代數(shù)方 程符號法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù) 的判別法等。 其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。 

由于傅立葉在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面取得了一系列重要的研究成果，1817年他被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。1830年5月16日卒于巴黎由于對熱傳導(dǎo)理論的貢獻(xiàn)于1817年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士，1822年成為科學(xué)院終身秘書。后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。