自然界的眾多形狀都是如此的不規(guī)則和支離破碎。對這些形狀的認(rèn)識，歐幾里得并未能給后人留下更多的啟示，傳統(tǒng)的歐氏幾何在它們面前顯得那樣的蒼白無力、對大自然的這種挑戰(zhàn)，二千年來，激勵著一代又一代的數(shù)學(xué)家上下求索，探尋從歐氏幾何體系中解放出來的道路。終于在1975年，芒德勃羅發(fā)表了被視為分形幾何創(chuàng)立標(biāo)志的專著《分形：形、機(jī)遇和維數(shù)》。從此，一門嶄新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)躋身于現(xiàn)代數(shù)學(xué)之林。

經(jīng)過近二、三十年的開拓和發(fā)展，分形研究現(xiàn)已深入到各個科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、地學(xué)、醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域，甚至在電影、美術(shù)和書法等藝術(shù)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，對現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生了至為深遠(yuǎn)的影響，所以美國著名物理學(xué)家惠勒說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人！”

一般是分?jǐn)?shù)（也可以是整數(shù)）。顯見，分形幾何給學(xué)生帶來的是一種全新的幾何觀念．讓他們學(xué)習(xí)分形幾何初步知識，幫助他們實(shí)現(xiàn)從歐氏幾何領(lǐng)域向分形幾何領(lǐng)域的認(rèn)知的初步跨越。由于分形是一類無特征尺度的幾何形體，所以無法用通常的度量：長度或重量或體積等參數(shù)去刻劃其特征，而只能用分?jǐn)?shù)維作為其復(fù)雜程度的定量表征，這是和學(xué)生已形成的傳統(tǒng)維數(shù)觀念相悖的：在歐氏幾何里，點(diǎn)是0維的，線段是1維的，正方形是2維的，正方體是3維的；而分形的維數(shù)卻一般是分?jǐn)?shù)：三分康托爾集、三元科赫曲線、門杰海綿的維數(shù)分別是0.6309、1.2618、2.7268．這種維數(shù)是新穎的，將對學(xué)生固有的維數(shù)觀念產(chǎn)生強(qiáng)勁的沖擊。分形幾何學(xué)可以用于表述大自然創(chuàng)造的復(fù)雜的真實(shí)物體，例如下面的例子。

（1）一些經(jīng)典分形圖：康托爾三分集、科赫雪花曲線、謝爾賓斯基墊片、“有皮沒有肉”的門杰海綿、惡魔的階梯等；

（2）科赫雪花曲線的字符串替換算法作圖；

（3）特征長度，分形的自相似性的認(rèn)識；

（4）海岸線的測量問題，海岸線與科赫曲線的本質(zhì)聯(lián)系；

（5）皮亞諾曲線與分?jǐn)?shù)維的初步知識；

（6）“病態(tài)”怪物畫廊。