1887年他當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，1908年當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。他還多次獲得法國及其他國家的榮譽(yù)和獎勵。

龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)許多領(lǐng)域，最重要的工作是在分析學(xué)方面。他早期的主工作是創(chuàng)立自守函數(shù)理論（1878）。他引進(jìn)了富克斯群和克萊因群，構(gòu)造了更一般的基本域。他利用后來以他的名字命名的級數(shù)構(gòu)造了自守函數(shù)，并發(fā)現(xiàn)這種函數(shù)作為代數(shù)函數(shù)的單值化函數(shù)的效用。1883年，提出了一般的單值化定理（1907年他和P．克貝相互獨(dú)立地給出完全的證明）。同年，他進(jìn)而研究一般解析函數(shù)論，研究函數(shù)的虧格及其與泰勒展開的系數(shù)或函數(shù)絕對值的增長率之間的關(guān)系。它同皮卡定理構(gòu)成后來的整函數(shù)及亞純函數(shù)理論發(fā)展的基礎(chǔ)之一。 

龐加萊為了研究行星軌道和衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題，在1881～1886年發(fā)表的四篇關(guān)于微分方程所確定的積分曲線的論文中，創(chuàng)立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點(diǎn)（焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、中心）附近的性態(tài)。他提出根據(jù)解對極限環(huán)（他求出的一種特殊的封閉曲線）的關(guān)系，可以判定解的穩(wěn)定性。

1885年，瑞典國王奧斯卡二世設(shè)立“體問題”獎，更加引龐加萊研究天體力學(xué)問題的興趣。他以關(guān)于當(dāng)三體中兩個(gè)的質(zhì)量比另一個(gè)小得多時(shí)的三體問題的周期解的論文獲獎。還證明了這種限制性三體問題的周期解的數(shù)目同連續(xù)統(tǒng)的勢一樣大。這以后，他進(jìn)行了大量天體力研究。引進(jìn)了漸進(jìn)展開的方法，得出嚴(yán)格的天體力學(xué)計(jì)算技術(shù)。他的成果總結(jié)在《天體力學(xué)的新方法》（3卷，1892～1899）和《天體力學(xué)講義》中。他開創(chuàng)了動力系統(tǒng)理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理”。他在天體力學(xué)方面的另一重要結(jié)果是，在引力作用下，轉(zhuǎn)動流體的形狀除了已知的旋轉(zhuǎn)橢球體、不等軸橢球體和環(huán)狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。

龐加萊對數(shù)學(xué)物理和偏微分方程也有貢獻(xiàn)。用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性（1890），這一方法后來促使位勢論有新發(fā)展。他還研究拉普拉斯算子的值問題，給出了特征值和特征函數(shù)存在性的嚴(yán)格證明（1894）。他在積分方程中引進(jìn)復(fù)參數(shù)方法，促進(jìn)了弗雷德霍姆理論的發(fā)展。

龐加萊對現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的影響是創(chuàng)立組合拓?fù)鋵W(xué)。1892年發(fā)表第一篇論文，1895～1904年，他在文中建立了組合拓?fù)鋵W(xué)。他引進(jìn)貝蒂數(shù)、撓系數(shù)和基本群等重要概念，創(chuàng)造流形的三角剖分、單純復(fù)合形、重新重分、對偶復(fù)合形、復(fù)合形的關(guān)連系數(shù)矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉-龐加萊公式，并證明流形的同調(diào)對偶定理。龐加萊的思想預(yù)示了德．拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想。在“龐加菜的最后定理”中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動點(diǎn)的存在問題。

龐加萊在數(shù)論和代數(shù)學(xué)方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數(shù)域上的代數(shù)幾何學(xué)》（1901）開創(chuàng)了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數(shù)，成為丟圖幾何的重要研究對象。他在代數(shù)學(xué)中引進(jìn)群代數(shù)并證明其分解定理。第一次引進(jìn)代數(shù)中的左理想和右理想概念。證明了李代數(shù)第三基本定理及坎貝爾-豪斯多夫公式（1899）。還引進(jìn)李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)，并對其基加以描述，證明了龐加萊-伯克霍夫-維特定理。

龐加萊對經(jīng)典物理學(xué)有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創(chuàng)立有貢獻(xiàn)。他從1899年開始研究電子理論，首先認(rèn)識到洛倫茨變換構(gòu)成群。

龐加菜的哲學(xué)著作《科學(xué)與假設(shè)》（1902）、《科學(xué)的價(jià)值》（1905）、《科學(xué)與方法》（1909）有著重大的影響。他是約定主義的代表人物，認(rèn)為科學(xué)公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實(shí)驗(yàn)事;其為依據(jù)，避開一切矛盾。

在數(shù)學(xué)上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點(diǎn)，反對無窮集合的概念，贊成潛在的無窮，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀概念是自然數(shù)，反對把自然數(shù)歸結(jié)為集合論。這使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。他的論文約有500篇，大都收在《龐加萊全集》中。 

（胡作玄）