費(fèi)馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開(kāi)始的。阿波羅尼的《論平面軌跡》一書(shū)久已失傳，而費(fèi)爾馬是把它重新寫出來(lái)的人之一。他用代數(shù)來(lái)研究曲線。他說(shuō)，他打算發(fā)起一個(gè)關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒(méi)做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表），書(shū)中說(shuō)，他找到了一個(gè)研究有關(guān)曲線問(wèn)題的普遍方法。

費(fèi)馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點(diǎn)J，J的位置用A、E兩個(gè)字母定出：A是從原點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒(méi)有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的X,Y.

　　費(fèi)馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，這兩個(gè)量之一， 其末端描繪出一條直線或曲線�！鼻拔闹袑�(duì)不同位置的E,其末端J,J‘,J’‘……就把“線”描出，它的未知量A和E，實(shí)際是變數(shù)�；蛘呖梢哉f(shuō)，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出方程（用我們現(xiàn)在的寫法就是）d x = b y，并指出這代表一條直線。他又給出d (a-x) = b y,并指出它也表示一條直線。方程p2-x2 = y2代表一個(gè)圓。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一條雙曲線，x2 = ay代表一條拋物線，而且費(fèi)爾馬確實(shí)領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。

因?yàn)樗�給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡(jiǎn)化到的簡(jiǎn)單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個(gè)聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。

　　笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時(shí)間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個(gè)軍隊(duì)中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達(dá)地方的招貼牌有一個(gè)挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開(kāi)始用心于數(shù)學(xué)。回到巴黎后，他為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動(dòng)，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時(shí)移居荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫出了著名的作品。1649年他被邀請(qǐng)去做瑞典女皇的教師，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。

　　1637年笛卡爾寫的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書(shū)出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個(gè)著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》�！稁缀巍肥撬�所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書(shū)，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂(lè)概要》。

　　笛卡爾是通過(guò)三個(gè)途徑來(lái)研究數(shù)學(xué)的，作為一個(gè)哲學(xué)家，他把數(shù)學(xué)方法看作是在一切領(lǐng)域建立真理的方法來(lái)研究。作為自然科學(xué)的研究者，它廣泛地研究了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)方面，它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人，他強(qiáng)調(diào)把科學(xué)成果付之應(yīng)用。在這一點(diǎn)上，他同希臘人明白地公開(kāi)決裂。由于他注意到數(shù)學(xué)的力量，他就是要去尋找數(shù)學(xué)的用途。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)不是思維訓(xùn)練，而是一門建設(shè)性的有用科學(xué)。他認(rèn)為把數(shù)學(xué)方法用到數(shù)學(xué)本身是沒(méi)有價(jià)值的，因?yàn)檫@不算是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費(fèi)精力的盲目研究者。

　　笛卡爾對(duì)當(dāng)時(shí)幾何和代數(shù)的研究方法進(jìn)行了分析和比較，他認(rèn)為沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達(dá)事物是非常有益的，但他對(duì)歐幾里德幾何中的每一個(gè)證明都要求某種新的往往是奇巧的想法，這一點(diǎn)深感不安。他還批評(píng)希臘人的幾何過(guò)多地依賴于圖形。他完全看到了代數(shù)的力量，看到他在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把程序機(jī)械化和把解題工作量減小的價(jià)值。他看到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他對(duì)當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)也加以批評(píng)，說(shuō)它完全受公式和法則的控制，不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)。因此它主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短。它所作的工作就是把代數(shù)用到幾何上去。在這里，他對(duì)方法的普遍興趣和他對(duì)代數(shù)的專門知識(shí)，就組成了聯(lián)合力量，于是就產(chǎn)生了它的《幾何》一書(shū)。

　　在《幾何》一書(shū)中，他開(kāi)始仿照韋達(dá)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來(lái)才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。在《幾何》第一卷的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖題，這只不過(guò)是代數(shù)在幾何上的一個(gè)應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。

　　下一步，笛卡爾考慮了不確定的問(wèn)題，其結(jié)果可以有很多長(zhǎng)度作為答案。這些長(zhǎng)度的端點(diǎn)充滿一條曲線。他說(shuō)：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點(diǎn)的曲線”。曲線的描出，根據(jù)于最后得到的不定方程，笛卡爾指出：對(duì)于每一個(gè)ｘ，長(zhǎng)度ｙ滿足一個(gè)確定的方程，因而可以畫(huà)出。

　　笛卡爾的做法，是選定一條直線作為基線，以點(diǎn)Ａ為原點(diǎn)，ｘ值是基線上從Ａ量起一個(gè)線段的長(zhǎng)度。ｙ是由基線出發(fā)與基線作成一個(gè)固定角度的一個(gè)線段的長(zhǎng)度。這個(gè)坐標(biāo)系我們現(xiàn)在叫作斜角坐標(biāo)系。笛卡爾的ｘ、ｙ只取正值，即圖形在第一象限內(nèi)。

　　有了曲線方程的思想之后，笛卡爾進(jìn)一步發(fā)展了它的思想。

1、曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)。
2 、同一坐標(biāo)系中兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，可解出交點(diǎn)。
3 、曲線概念的推廣，古希臘人說(shuō)平面曲線是可以用直尺和圓規(guī)畫(huà)出的曲線，而笛卡爾則排斥了這種認(rèn)為只有用直尺和圓規(guī)畫(huà)出的曲線才是合法的思想，他提出，那些可用一個(gè)唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示出的曲線，都是幾何曲線。

這樣，例如蔓葉線（x3+y3-3a xy=0)和蚌線都被承認(rèn)是幾何曲線，其他如螺線等，笛卡爾稱之為機(jī)械曲線 [萊布尼茲(Leibniz)后來(lái)把它們分別稱之為代數(shù)曲線和超越曲線]。笛卡爾對(duì)曲線概念的這一推廣，取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規(guī)和直尺畫(huà)出這個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)，不但接納了以前被排斥的曲線，而且開(kāi)辟了整個(gè)曲線領(lǐng)域，牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何里”。

　　從上面的敘述我們可以看出，費(fèi)爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費(fèi)爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評(píng)了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個(gè)傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費(fèi)爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說(shuō)真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。

　　有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想——用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時(shí)沒(méi)有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。

　　一個(gè)原因是因?yàn)橘M(fèi)馬的書(shū)《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對(duì)幾何作圖題的強(qiáng)調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。

事實(shí)上，許多和他同時(shí)代的人，都認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問(wèn)題的工具，甚至萊布尼茲說(shuō)笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實(shí)知道，它的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個(gè)解決作圖問(wèn)題的工具，他在《幾何》的引言中說(shuō)：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述�！钡�他利用曲線方程之處，確實(shí)被他的作圖問(wèn)題所掩蓋。

　　坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個(gè)原因，是笛卡爾的書(shū)《幾何》寫得使人難懂。書(shū)中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說(shuō)歐洲幾乎沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫入細(xì)節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計(jì)劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說(shuō)：“我沒(méi)有做過(guò)任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見(jiàn)到，對(duì)于那些自命無(wú)所不知的人，我如果寫的使他們能充分理解，他們將不失機(jī)會(huì)地說(shuō)我寫的都是他們已經(jīng)知道的東西�！�

還有另一理由，在《幾何》中他說(shuō)，他不愿意奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂(lè)趣。的確，它的思想必須從它的書(shū)中許多解出的例題里去推測(cè)，他說(shuō)，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因?yàn)槿绻�有人不嫌麻煩而去系統(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。

　　影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個(gè)是許多數(shù)學(xué)家反對(duì)把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，認(rèn)為數(shù)量運(yùn)算和幾何量的運(yùn)算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個(gè)原因是當(dāng)時(shí)代數(shù)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)密性的。

　　上述種種原因，雖然阻礙了對(duì)費(fèi)爾馬和笛卡爾的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并擴(kuò)展了坐標(biāo)幾何。

二、解析幾何的重要性
　　解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個(gè)巨大的成就，但在方法論上卻是一個(gè)了不起的創(chuàng)建。

1、笛卡爾希望通過(guò)解析幾何引進(jìn)一個(gè)新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實(shí)，而且這個(gè)探索問(wèn)題的方式，幾乎成為自動(dòng)的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時(shí)，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點(diǎn)時(shí)，必須分別考慮交點(diǎn)在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時(shí)，則不須加區(qū)別。

2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過(guò)代數(shù)來(lái)達(dá)到。反過(guò)來(lái)，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點(diǎn)來(lái)求三次和四次方程的實(shí)根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把這些優(yōu)點(diǎn)寫進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善。”的確，十七世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于解析幾何，可以說(shuō)微分學(xué)和積分學(xué)如果沒(méi)有解析幾何的預(yù)先發(fā)展是難以想象的。

3、解析幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它是數(shù)量工具。這個(gè)數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開(kāi)要求著的，例如當(dāng)開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時(shí)就必須計(jì)算這些橢圓和炮彈飛時(shí)所畫(huà)的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運(yùn)動(dòng)物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識(shí)。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識(shí)。

三、一點(diǎn)啟示

解析幾何的重要性在于他的方法——建立坐標(biāo)系，用方程來(lái)表示曲線，通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線。

　　蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說(shuō)：“解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對(duì)它來(lái)說(shuō)，決定性的因素，不是研究對(duì)象，而是方法�！薄斑@個(gè)方法的實(shí)質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對(duì)象（即圖形）相對(duì)應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái)�！�

　　由于解析幾何方法解決各類問(wèn)題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個(gè)基本方法。不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中。

因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不僅僅在于記住它的某些具體結(jié)論。

　　解析幾何的基本方法，包括兩個(gè)方面：一是由圖形到方程，二是從方程到圖形，也就是選擇坐標(biāo)系，建立圖形方程。通過(guò)對(duì)方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀。

　　解析幾何離不開(kāi)代數(shù)，但又要隨時(shí)把各種代數(shù)表示的幾何涵義放在心中。學(xué)習(xí)中要特別注意，培養(yǎng)自己的幾何直觀能力。這種能力對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為重要的。

　　應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體對(duì)象。因?yàn)槲覀儜?yīng)把目的放在掌握基本方法上，采取“研究對(duì)象簡(jiǎn)單一些，突出基本方法”的方針，避免發(fā)生因?yàn)檠芯繉?duì)象復(fù)雜，引起很多枝節(jié)，從而淹沒(méi)了基本方法的現(xiàn)象。這也是笛卡爾留給我們的一個(gè)教訓(xùn)。它就是因?yàn)橹v了很多很多的作圖題，把它的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒(méi)了。