| 書中出現(xiàn)了有關(guān)正多邊形的作圖，方便的同余記號以及優(yōu)美的二次互反律的首次證明等。實(shí)際上，在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明，可是沒有一個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然後提出自己的見解，他一生中一共給出了四個(gè)不同的證明。
我們這里談到的也只是高斯年輕時(shí)候在數(shù)論領(lǐng)域里所做的一小部分工作，在他漫長的一生中，他幾乎在數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域都有開創(chuàng)性的工作。在慕尼黑博物館的高斯畫像上有這樣一首題詩： “他的思想深入數(shù)學(xué)、空間、大自然的奧秘，他測量了星星的路徑、地球的形狀和自然力。他推動了數(shù)學(xué)的進(jìn)展直到下個(gè)世紀(jì)。 ”
在19世紀(jì)末，集合論的創(chuàng)始人康托這樣評價(jià)：《算術(shù)研究》是數(shù)論的憲章。高斯總是遲遲不肯發(fā)表他的著作，這給科學(xué)帶來的好處是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版時(shí)一樣正確和重要，他的出版物就是法典。比人類其它法典更高明，因?yàn)椴徽摵螘r(shí)何地從未發(fā)覺出其中有任何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時(shí)代第一部巨著時(shí)說的話：“《算術(shù)研究》是歷史的財(cái)富。”他當(dāng)時(shí)的得意心情是頗有道理的。
關(guān)于《算術(shù)研究》，還流傳著這樣一個(gè)故事，1849年7月16日，哥廷根大學(xué)為高斯獲得博士學(xué)位五十周年舉行慶祝會。當(dāng)進(jìn)行到某一程序時(shí)，高斯準(zhǔn)備用《算術(shù)研究》的一張?jiān)妩c(diǎn)煙，當(dāng)時(shí)在場的數(shù)學(xué)家狄里克雷（后來繼承了高斯的職位），像見到瀆圣行為一樣吃了一驚，他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁紙，并一生珍藏它；他的編輯者在他死后從他的論文中間找到了這張?jiān)濉?nbsp;
“寧肯少些，但要成熟�！�
和藝術(shù)家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術(shù)珍品，任何絲毫的改變都將破壞其內(nèi)部的均衡。他常說：“當(dāng)一幢建筑物完成時(shí)，應(yīng)該把腳手架拆除干凈�！�
高斯對于嚴(yán)密性的要求也非�？量�，使得一個(gè)定理從直覺的形式到完整的數(shù)學(xué)證明，中間有一段很長的過程。此外，高斯十分講究組織結(jié)構(gòu)，他希望在每一個(gè)領(lǐng)域中，都能樹立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯(lián)系起來。鑒于上述原因，高斯很不樂意公開發(fā)表他的東西。他的著名的警句是：寧肯少些，但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價(jià)，包括把非歐幾何學(xué)和最小二乘法的發(fā)明權(quán)讓給了羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德，就如同費(fèi)馬把解析幾何和微積分的發(fā)明權(quán)讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。
從做出有關(guān)正多邊形發(fā)現(xiàn)的那天起，高斯開始了著名的數(shù)學(xué)日記，他以密碼式的文字記載下許多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。高斯的這本日記直到1898年才被找到，它包括146條很短的注記，其中有數(shù)值計(jì)算結(jié)果，也有簡單的數(shù)學(xué)定理。例如，關(guān)于正多邊形作圖問題，高斯在日記中寫到：圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。
又如1796年7月10日的記載， num＝△＋△＋△ 意指“每個(gè)自然數(shù)都是三個(gè)三角形數(shù)之和”。就像莫扎特一樣，高斯年輕時(shí)候風(fēng)起云涌的奇思妙想使他來不及做完一件事，另一件又出現(xiàn)了。
在高斯的時(shí)代，幾乎找不到什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。每當(dāng)他發(fā)現(xiàn)新的理論時(shí)，他沒有人可以討論。這種孤獨(dú)的感覺，經(jīng)年累月積存下來，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨(dú)，在歷史上只有很少幾個(gè)偉人感受過。高斯從不參加公開爭論，他對辯論一向深惡痛絕，他認(rèn)為那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專制的父親一種心理上的反抗。高斯成名后很少離開過哥廷根，他曾多次拒絕柏林、圣彼德堡等地科學(xué)院的邀請。
高斯甚至厭惡教學(xué)，也不熱衷于培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)年輕人，自然就談不上創(chuàng)立什么學(xué)派，這主要是由于高斯天賦之優(yōu)異，因而心靈上離群索居�？蛇@不等于說高斯沒有出類拔萃的學(xué)生，黎曼、狄里克雷都堪稱偉大的數(shù)學(xué)家，戴特金和艾森斯坦也對數(shù)學(xué)作出了杰出貢獻(xiàn)。但是由于高斯的登峰造極，在這幾個(gè)人中，也只有黎曼（在狄里克雷死后繼承了高斯的職位）被認(rèn)為和高斯比較親近。
后人對高斯的批評： 美國的著名數(shù)學(xué)家E.T.貝爾在他的《數(shù)學(xué)精英》一書里曾經(jīng)這樣批評高斯：在高斯死后，人們才知道他早就預(yù)見一些十九世的數(shù)學(xué)，而且在1800年之前他已經(jīng)在期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能現(xiàn)在數(shù)學(xué)早比目前還要先進(jìn)半個(gè)世紀(jì)或更多的時(shí)間。阿貝爾和雅可比就可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時(shí)就知道的東西。而那些非歐幾何學(xué)的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。 阿貝爾20歲時(shí)，解決了數(shù)學(xué)史上的一個(gè)大問題，即證明了用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短六頁“不可解”的證明寄給歐洲一些著名的數(shù)學(xué)家，高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心，以為數(shù)學(xué)家們會親切地接受這篇論文。不久阿貝爾開始了他一生唯一的一次遠(yuǎn)足，當(dāng)時(shí)他想以這篇文章作敲門磚。
阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪高斯，
但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在一旁，仍然專心于自己的研究工作。阿貝爾只得痛苦離開哥廷根。 和高斯同時(shí)代的偉大數(shù)學(xué)家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就�！�
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