古埃及數(shù)學(xué)

埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個統(tǒng)一的國家。尼羅河是埃及人生命的源泉，他們靠耕種河水泛濫后淤土覆蓋的田地謀生。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。由于他們也得準(zhǔn)備好應(yīng)付洪水的危害，因此就得預(yù)報洪水到來的日期。這就需要計算。

埃及人還把他們的天文知識和幾何知識結(jié)合起來用于建造他們的神廟，使一年里某幾天的陽光能以特定方式照射到廟宇里。公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)埂�從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小。

金字塔是代表埃及人對幾何的另一種用法。

坐落在基沙地區(qū)的埃及金字塔群是人類史上最偉大最古老的建筑物之一，由其建筑技術(shù)上的高超、定位技術(shù)的精確，一直以來使世人驚嘆不已。你看見過埃及金字塔嗎？幾百年來，它以宏偉高大的氣勢，吸引了無數(shù)觀光旅游的人們。這么高大的金字塔，建造精度如此之高，古埃及人是怎么建成的呢？當(dāng)科學(xué)家破譯了古埃及人流傳下來的草片上的文字之后，發(fā)現(xiàn)古埃及人已經(jīng)掌握了豐富的幾何知識。

有一位研究“埃及金字塔建造史” 的學(xué)者葛瑞姆·漢卡克，他提供了一些有關(guān)埃及金字塔的非常有趣和有參考價值的數(shù)據(jù)資料。在平均邊長9063英寸的底座上，金字塔四邊互相的誤差率還不到1%；現(xiàn)代建筑的一大難題“正直角技術(shù)”甚至被古建筑大師們游刃有余應(yīng)用于金字塔的轉(zhuǎn)角建構(gòu)上。而且達(dá)到令人驚訝精密的程度，只有“2秒之微”的誤差；

金字塔雖不是建造在正北緯30度線上，卻也在非常接近的29度58分51秒，所存在的細(xì)微的誤差是有意加上去的。假設(shè)原始設(shè)計者希望以肉眼，而非心眼，從大金字塔的底邊看到太空的極點的話，將大氣中光線的曲折方式也計算在內(nèi)后，大金字塔所在的位置一定要在29度58分22秒，而非30 度的位置不可。58分22秒與實際位置所在的58分51秒之間的差距還不到1分的一半，如此高的精密度，再次顯示出古埃及人無論在一般測量或地理測量上，技術(shù)如何地精湛。

然而，考古學(xué)家在觀察金字塔時，還有很多更令人震驚的發(fā)現(xiàn)。 

天文學(xué)的“分點歲差”

“分點歲差”具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�、一再重�?fù)的數(shù)學(xué)特質(zhì)，可以精確地加以分析和預(yù)測。然而，若是缺乏精密的儀器，我們就很難觀察它，更不用說精確地加以測量了。 

古代人何時第一次計算出歲差？這個問題的答案是一個了解人類歷史的一大秘密。

根據(jù)史書記載，發(fā)現(xiàn)“歲差”這個天文現(xiàn)象的是古希臘學(xué)者希巴克斯：公元前2世紀(jì)，他提出的歲差值為45或46秒（跟現(xiàn)代天文學(xué)界接受的數(shù)字50.274秒極為接近。但是誤差是很小的，原因在于每年改變50．274秒，還不到l度的l／60，因此，春分太陽沿著黃道遷移l度大約需要72年時間，這相當(dāng)于人的一生。

由于要觀察這種極為緩慢的改變，在當(dāng)時是非常困難的，所以希巴克斯在公元前2世紀(jì)提出的歲差值，會被《大英百科全書》推崇為“重大發(fā)現(xiàn)”。

隱藏在古埃及的神話中一組關(guān)鍵數(shù)字 

考古天文學(xué)家珍·謝勒斯在他的著作《古埃及神祗之死》中提及，在埃及的歐西里斯神話里可能刻意隱藏著一組關(guān)鍵數(shù)字，而這些數(shù)字在故事情節(jié)上也許是“多余的”，但卻能提供我們一套永恒的計算方法。請看這樣： 

12＝黃道帶星座的數(shù)目； 

30＝沿著黃道，每一個黃道帶星座所占的度數(shù)；

72＝春分太陽沿著黃道，完成l度的歲差移動所需的時間，即72年； 

360＝黃道的總度數(shù)； 

72×30＝2160（太陽沿著黃道移動30度，穿越過一整個黃道帶星座所需的時間，即2160年）；

2160×12（或360×72）＝25920（完成一個歲差周期或“大年”所需的時間，即25920年，也就是“大回轉(zhuǎn)”總共所需的年數(shù)）。 

還出現(xiàn)了其他數(shù)字和數(shù)字組合，例如：

36＝春分太陽沿著黃道，完成半度的歲差移動所需的時間，即36年； 

4320＝春分太陽完成60度的歲差移動，穿越兩個黃道帶星座所需的時間，即4320年。

謝勒斯認(rèn)為這就是一再出現(xiàn)于古代神話和神殿的天文歲差密碼的基本成分，這套密碼允許人們隨意向左或向右移動小數(shù)點；人們也可以運用密碼中的基本數(shù)字，全都與分點歲差率有關(guān)，從事幾乎任何組合、排列、乘除。密碼中最重要的數(shù)字是72。古代神話常在這個數(shù)字上加36，使成108，然后乘以100，得10800，或除以2，得54，再乘以10，得540（或54000，540000，540000 0等等）。

另一個關(guān)鍵數(shù)字是2160（春分太陽穿越一個黃道帶星座所需的年數(shù)）。古代神話有時將這個數(shù)字乘以10或10的因數(shù)，得216000，2160000等；有時乘以2 ，變成4320，43200，432000，4320000，無窮無盡。 

比希巴克斯更精確：謝勒斯認(rèn)為，這些數(shù)字的演算是被刻意轉(zhuǎn)變成密碼，隱藏在歐西里斯神話中，以便將天文歲差信息傳達(dá)給初入門的人。

葛瑞姆認(rèn)為這些數(shù)字如果真的牽涉到天文歲差，它們在古代出現(xiàn)，委實是不可思議的現(xiàn)象，因為這些數(shù)字所包含的科學(xué)知識太過先進(jìn)，并不是古代任何已知的文明能夠演算出來的。他也提醒人們不要忘記，包藏這些數(shù)字的神話，在古埃及人發(fā)明文字之初就已經(jīng)存在了。從在公元前2450年左右寫成的金字塔經(jīng)文，看到里面就包含有歐西里斯神話的一些成分，而根據(jù)上、下文我們可以判斷，即使在那個時候，這些成分已經(jīng)非常古老。

任何金字塔的幾何構(gòu)造都涉及到兩個基本要素，一個是金字塔的高度（頂端距離地面的高度）；另一個是金字塔在地面的周長。

以埃及的大金字塔為例，它的高度（481.3949英尺）和周長（3023.16英尺）之間的比率，恰好
等于一個圓圈的半徑和圓周之間的比率，即2π。

如果將這座金字塔的高度乘以2π（如同我們根據(jù)一個圓圈的半徑計算它的圓周），我們就能夠精確算出金字塔的周長：481.3949×2×3.14＝3023.1 6。相反地，如果我們將這座金字塔的周長除以2π，也同樣可以算出它的高度。3023.16/2/3.14＝481.3949。 

這樣精確的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，幾乎不可能出于單純的巧合。因此，我們不得不承認(rèn)，埃及大金字塔的設(shè)計師確實了解π的原理，刻意將它的數(shù)值應(yīng)用到金宇塔的營建上。 就如埃及大金字塔在三度空間上的設(shè)計，墨西哥太陽金字塔運用的π原理顯然并不是單純的巧合。這兩座金字塔在建構(gòu)上都表現(xiàn)出π的關(guān)聯(lián)，而大西洋兩岸其他金字塔卻都沒有這個特征。此一事實足以證明：在遠(yuǎn)古時代，這兩個地區(qū)的人類已經(jīng)掌握先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識，而且他們在營建金字塔時，都抱持某種基本的“共同目標(biāo)”。

我們剛才看到，埃及大金字塔使用的高度／周長比率是2π，而這樣的一種比率所要求的坡度是非常特殊、很難處理的52度角。太陽金宇塔的高度／周長比率是4π，也同樣要求不尋常的坡度（43.5度）來配合，如果不是為了某種神秘的理由，古埃及和墨西哥建筑師何不選擇比較簡單的45度角，只須將一個直角切成兩半就行了。 

究竟是怎樣的一種共同目標(biāo)，使大西洋兩岸的建筑師煞費苦心，不憚其煩，將π數(shù)值精確地納入這兩座金字塔的建造中呢?金字塔興建期間，墨西哥和埃及的文明似乎沒有任何直接接觸，因此我們不得不懷疑，在遠(yuǎn)古時代，這兩個地區(qū)曾經(jīng)從一個共同的根源繼承到一些知識觀念。埃及大金字塔和墨西哥太陽金字塔所呈現(xiàn)的共同數(shù)學(xué)觀念，可能和“球體”有關(guān)，因為這種形體具有三度空間，一如金字塔，而一般的圓只有兩度空間。

我們似乎可以這樣推論：為了以象征方式將球體表現(xiàn)在三度空間、表面平整的建筑物上，古埃及和墨西哥的建筑師才不憚其煩，把π原理精確地納入這兩座金字塔的設(shè)計。此外，這些建筑師的意圖似乎不在表現(xiàn)一般的球形，而是呈現(xiàn)一個特殊的球體：地球。 

似曾相識的“43200”——再窺神秘 

雖然很多傳統(tǒng)學(xué)者認(rèn)為在金字塔中π的使用純屬偶然，但連他們也承認(rèn)有π存在的事實�？墒俏覀兡軌蛘J(rèn)真地接受，大金字塔可能是將北半球以l／43200的比例，縮影在平面上嗎? 讓我們看一下相關(guān)的數(shù)字。根據(jù)最新由人造衛(wèi)星搜集到的測量值，地球赤道的周長為24902.45英里，至北極的半徑為34949.921英里。

大金字塔的周長為3023.16英尺，高度為481.3949英尺。兩者之間的比率，經(jīng)計算以后，雖然不是完全不差，但已非常近似。如果我們考慮地球在赤道（我們的地球為橢圓，而非正圓形）的膨脹情形，那么兩者之間的比例似乎就更接近l/43200了。 

到底有多接近呢? 如果我們將赤道周長的24902.45英里，除以43200，得到0.5764英里。1英里等于5280英尺。如果將0.5764乘以5280，得到3043.39英尺。就是說地球的赤道縮小43200倍后，為3043.39英尺。而大金字塔的周長為3023 .16英尺。兩者之間的“誤差”不到20英尺，也就是僅一個百分點的1/3。

金字塔建筑者歷來以精確無比的方式在工作，這種誤差的產(chǎn)生，應(yīng)該不是在建造金字塔時發(fā)生，而是因低估了我們的地球周長——僅低估了163英里所致。而這種誤差可能是未能將赤道凸出部份正確計算在內(nèi)的結(jié)果。（甚至如果那時地球的形狀跟今天的有一點差別，又會怎樣？） 接著，讓我們來檢討一下從北極到赤道的半徑3949.921英里。如果我們將它縮小43200倍的話，得到的數(shù)值為0.0914英里，就是482.59英尺。而大金字塔的高度為481.3949英尺，兩者之間只差不到1英尺，誤差率不及1/5百分點。 這種些微的誤差放在一邊，大金字塔的圓周的確應(yīng)該為赤道的l/43200縮尺。

同樣地，將些微的差距放在一邊，大金字塔的高度等于北極到赤道半徑長的l/432 00縮尺。換句話說，在西方文明歷經(jīng)地球毫無所知的黑暗時期，只要將大金字塔的周長乘以43200倍，就可得到地球的周長了。

這一切，“偶然”的可能性有多大? 依常識判斷，應(yīng)該“很不可能”。任何一個有理性的人，都應(yīng)該可以看出來，這些數(shù)字只有經(jīng)過非常仔細(xì)的計算與小心的規(guī)劃才能達(dá)成。

在金字塔的設(shè)計中的幾個關(guān)鍵的指標(biāo)和數(shù)字表明了其實43200這個數(shù)字本身就已經(jīng)是一個證明。不過，古埃及學(xué)者向來不將常識認(rèn)為是應(yīng)該經(jīng)常使用的東西，因此，我們必須進(jìn)一步證明，43200不是一個隨便設(shè)定，而是在智慧與知識之上，故意選定的一個數(shù)值。其實43200這個數(shù)字本身就已經(jīng)是一個證明，因為它不是一個隨意的數(shù)字（如4500 0、47000或50500、38800之類的)，而是一個連串性數(shù)字中的一環(huán)，和歲差運動有關(guān)系，并與世界各地的古代神話都息息相關(guān)。

如前所述金宇塔與地球的比率，在神話中不時可見，有的時候就直接出現(xiàn)43200，但有的時候也會變成432，或43 20，或432000。這似乎反映了兩件驚人的事實，而且是兩件緊密相關(guān)的事，就好像設(shè)計來互相補充一般。

葛瑞姆認(rèn)為。大金字塔為地球北半球的正確縮影，僅這件事就夠驚人的了。但更令人吃驚的是，古埃及人所選用的縮尺比例，竟然和掌握地球歲差運動的關(guān)鍵數(shù)字有關(guān)系。

這是由于地球軸心的兩端永遠(yuǎn)而固定地回旋、描繪圓弧，造成黃道帶上春分點的位置，以每72年1度、每2160年30度(一個完整的星座)的弧度移動，每移動兩個星座，也就是60度，便需要4320年。 

不同的古代神話中，都出現(xiàn)過432這個和歲差運動有關(guān)的數(shù)字，這本身當(dāng)然也有可能純屬偶然。從單一事件來看，金字塔與地球的比例1：43200，可能純屬偶然。

當(dāng)我們在兩個非常不同的事物——古代神話與建筑中，都看到這種與歲差運動有關(guān)的數(shù)字時，便無法也不該再輕言偶然了。大金字塔的建筑從圓周與高度的π關(guān)系，引領(lǐng)我們找到了同樣與歲差運動有關(guān)的43200，進(jìn)而向北半球的尺寸推理，最后想到縮尺的可能性。 

在這里我們得到了一種科學(xué)上被證明了可行性的新的測地投影法（其實古人也曾采取過類似的方法測地），簡述如下： 原本金字塔的設(shè)計，便是要讓每個面代表北半球的1/4個曲面，也就是球形1/4 的90度。為將球形的1/4圓正確投影為三角形，1/4的圓弧，也就是底座必須和三角形底邊長度完全一樣才行。而且，兩者也必須等高。而要達(dá)到這個目的，將金字塔一分為二的子午線的頂點，和底座的高度，必須呈π的關(guān)系的斜面角度…… 

這些奇妙的數(shù)字難道真的是偶然的巧合嗎？葛瑞姆認(rèn)為這個偶然的機率一定比天文數(shù)字還要低。

與天文學(xué)相關(guān)一些數(shù)學(xué)知識

古埃及人不但能辨識歲差運動，還具有利用神話來講述、傳播它的能力。他們比任何其他古代人 都更了解太陽系的運作，并懂得觀測天象。而且如果古埃及人真的具有如此高深的天文知識的話，他們一定非常重視這些知識，并代代相傳，使它成為海里歐波里斯的精英祭司所保管的重要秘密之一。這些祭司想必會非常秘密地，以口傳的方式，只授予經(jīng)過嚴(yán)格挑選的同門后人。萬一因時勢需要，他們必須將這些精奧的知識寫進(jìn)金字塔經(jīng)文的話，一定會故意將這些知識以引喻、寓言等的方式呈現(xiàn)出來，以保護他們的秘密。難道這是不可能的嗎? 

早在哥白尼和伽利略出生前好幾千年，古埃及人就以地動說解釋了太陽系的運動。 要注意的問題是，不論是古埃及人，或繼續(xù)古埃及文明的希臘人，甚至后來文藝復(fù)興前的歐洲人，都從來沒有過這么高深的天文資料。在一般測量或地理測量方面古埃及人的技術(shù)之精湛達(dá)到甚至令現(xiàn)代人也無法想象的地步。然而，在古埃及文明甚至還沒有開化前，經(jīng)文中便出現(xiàn)了如此這般高深的知識。

關(guān)于這一點，應(yīng)該做何解釋呢?  葛瑞姆·漢卡克從很久以前，便開始相信埃及科學(xué)能夠如此發(fā)達(dá)、洗練，必定和繼承脫不了關(guān)系。他看到在悠遠(yuǎn)的過去，曾經(jīng)擁有高度技術(shù)——的角度去解釋這個謎。

古埃及人有一套非常便利的天狼星周期歷法概念，他們認(rèn)定是天神所賜予的。古代埃及歷法的周期為1460年，太陽歷法的周期則為1461年。這一點更可以佐證上述的觀點。 

用技術(shù)性語言來說，天狼星周期就是“天狼星再度與太陽在同樣地方升起的周期”。天狼星在固定的季節(jié)中，會自天空中消失，然后，又會在太陽升空天亮之前，從東方的天空升起。就時間而言，這個周期——除去小數(shù)點的尾數(shù)后——為365.35日。后面的尾數(shù)很長，就是太陽歷的12分鐘而已。

令人感到奇怪的是，在肉眼可觀察到的2000顆星星中，精確地以365專日的周期，與太陽一起升起的星星只有一顆，而這便是天狼星“正確的運動”，這顆星球在宇宙中運動的速度，加上歲差運動的結(jié)果。同時，古埃及的歷法特地將天狼星比太陽先升空的那一天，定為元旦日。而在事前，在金字塔經(jīng)文編纂的海里歐波里斯，古埃及人便已經(jīng)計算好元旦日的到來，并通知尼羅河上下所有的神殿。

金字塔經(jīng)文將天狼星稱為“新年之名”。由此而來，我相信天狼星歷至少和金字塔經(jīng)文的歷史一樣久遠(yuǎn)。其中最令人不解的謎便是，在這么久遠(yuǎn)的太古時代，誰能有這么高超的知識技術(shù)，能夠觀察、記錄到太陽與天狼星周期之間，非常巧合地差365.25日? 法國數(shù)學(xué)家史瓦勒·魯比茲說，天狼星的周期為“完全料想不到的意外天體現(xiàn)象”。 

為什么選中天狼星？這是因為在無數(shù)的星星中，它是唯一以正確的方向，移動了相應(yīng)的距離的星球。就是說早在4000年前，人類便已經(jīng)知道了這個現(xiàn)象。而要能夠發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象需要長時間觀察天體運動才行。對于發(fā)觀這種純屬偶然現(xiàn)象的偉大科學(xué)家，我們除了敬佩，無話可說。 

人們從金字塔經(jīng)文看到了史前的古埃及人就有長時間正確觀測星象，并做成科學(xué)性記錄的傳統(tǒng)，而且在他們的神話中暗含的許多表達(dá)歲差運動的數(shù)字，不但非常精確，而且一致性高，絕不可能是偶然湊成的。他們在天文學(xué)與數(shù)學(xué)的知識遺產(chǎn)就是以這種方式傳承，而金字塔正是當(dāng)時古埃及人所達(dá)到的天文、數(shù)學(xué)與建筑知識水平的一個永久的證明。

從通氣孔到獵戶座——波法爾的發(fā)現(xiàn) 

1993年，又出現(xiàn)了關(guān)于古埃及驚人的新發(fā)現(xiàn)，一位天文研究很有興趣的比利時土木工程師羅伯·波法爾發(fā)現(xiàn)天空和基沙的金字塔之間很有關(guān)系。就是他注意到了另一個驚人的發(fā)現(xiàn)。1960年古埃及學(xué)家及建筑家亞歷山大·拜德威博士和美國的天文學(xué)家特林波發(fā)現(xiàn)了大金字塔王殿南側(cè)的通氣孔，在金字塔時代（公元前2600一公元前2400年）對準(zhǔn)著獵戶星的三顆星。而這是只注意地面卻忽略了天空的古埃及學(xué)專家們始料未及的。

由紙草書記錄下的埃及數(shù)學(xué)成就

現(xiàn)今對古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫成的紙草書；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國的夏代。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。

原來，在尼羅河三角洲盛產(chǎn)一種和蘆葦很相象的水生植物――紙莎草，古埃及人把這種草從縱面剖成小條，連接成片后再壓榨篩干，就可以在上面寫字了。古埃及人的這些文字因為寫在紙莎草上，所以我們稱它為“紙草書”。那時埃及人的書寫方式是用墨水寫在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了銘刻在石頭上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下來。古埃及人在數(shù)學(xué)科學(xué)上的工作，我們現(xiàn)在知道得不太多，這與草書不耐保存有很大的關(guān)系。

后來，一位法國人弄明白了紙草書上文字的含義，使人們知道，古埃及人已經(jīng)學(xué)會用數(shù)學(xué)來管理國家和宗教事物，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，計算建造房屋所需要的磚塊數(shù)等等，還會計算釀造一定量酒所需的谷物數(shù)量呢！用數(shù)學(xué)語言來說，就是古埃及人已經(jīng)掌握了加減乘除運算、分?jǐn)?shù)的運算，還解決了一元一次方程和一類相當(dāng)于二元二次方程組的特殊問題。紙草書上還有關(guān)于等差、等比數(shù)列的問題。另外，古埃及人計算矩形、三角形和梯形的面積等的結(jié)果，和現(xiàn)代的計算值十分相近。比如，他們掌握了計算圓的面積的公式，使用的π＝3.1605，這可是非常了不起的。因為有了這樣充足的數(shù)學(xué)知識，古埃及人建成金字塔就不足為怪了。

古埃及文明的發(fā)展是在沒有外來勢力的影響下獨自進(jìn)行的。埃及人靠著尼羅河帶來的肥沃的土壤，創(chuàng)造著自己生生不息的文明和科學(xué)。古埃及人造出了幾套自己的文字，其中有一套是象形文字，每個文字記號是某件東西的圖形，直到公元紀(jì)元前后，埃及的象形文字還用在紀(jì)念碑文和器皿上。

埃及很早就用十進(jìn)記數(shù)法，但卻不知道位值制，每一個較高的單位是用特殊的符號來表示的。例如111，象形文字寫成三個不同的字符，而不是將1重復(fù)三次。埃及算術(shù)主要是加法，而乘法是加法的重復(fù)。他們能解決一些一元一次方程的問題，并有等差、等比數(shù)列的初步知識。占特別重要地位的是分?jǐn)?shù)算法，即把所有分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(即分子是1的分?jǐn)?shù))的和。

紙草書還給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計算的結(jié)果相當(dāng)于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據(jù)莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計算方法。總之，古代埃及人積累了一定的實踐經(jīng)驗，但還沒有上升為系統(tǒng)的理論。