20世紀(jì)
- 1901年，嚴(yán)格證明狄利克雷原理，開創(chuàng)變分學(xué)的直接方法，在工程技術(shù)的計(jì)算問題中有很多應(yīng)用（德國希爾伯特）。
首先提出群的表示理論。此后，各種群的表示理論得到大量研究（德國
舒爾、弗洛伯紐斯）。
基本上完成張量分析，又名絕對微分學(xué)。確立了研究黎曼幾何和相對論的分析工具（意大利里齊、勒維.齊維塔）。
提出勒貝格測度和勒貝格積分。推廣了長度、面積積分的概念（法國
勒貝格）。
- 1903年，發(fā)現(xiàn)集合論中的羅素悖理，出現(xiàn)所謂第三次數(shù)學(xué)危機(jī)（英國貝.羅素）。
建立線性積分方程的基本理論，是解決數(shù)學(xué)物理問題的數(shù)學(xué)工具，并為建立泛函分析作了準(zhǔn)備（瑞典
弗列特荷姆）。
- 1906年，總結(jié)了古典代數(shù)幾何學(xué)的研究（意大利
賽維利等）。把由函數(shù)組成的無限集合作為研究對象，引入函數(shù)空間的概念，并開始形成希爾伯特空間。這是泛函分析的發(fā)源（法國弗勒錫，匈牙利 里斯）。
開始系統(tǒng)地研究多個(gè)自變量的復(fù)變函數(shù)理論（德國
哈爾托格斯）。 初次提出“馬爾可夫鏈”的數(shù)學(xué)模型（俄國馬爾可夫）。
- 1907年，證明復(fù)變函數(shù)論的一個(gè)基本原理---黎曼共形映照定理（德國寇貝）。
反對在數(shù)學(xué)中使用排中律，提出直觀主義數(shù)學(xué)（美籍荷蘭人
路.布勞威爾）。
- 1908年，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)形成（德國
忻弗里斯）。
提出集合論的公理化系統(tǒng)（德國
策麥羅）。
- 1909年，解決數(shù)論中著名的華林問題（德國
希爾伯特）。
- 1910年，總結(jié)了19世紀(jì)末20世紀(jì)初的各種代數(shù)系統(tǒng)如群、代數(shù)、域等的研究，開創(chuàng)了現(xiàn)代抽象代數(shù)（德國
施坦尼茨）。
發(fā)現(xiàn)不動點(diǎn)原理，后來又發(fā)現(xiàn)了維數(shù)定理、單純形逼近方法，使代數(shù)拓?fù)涑蔀橄到y(tǒng)理論（美籍荷蘭人路.布勞威爾）
。
- 1910-1913年，出版《數(shù)學(xué)原理》三卷，企圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)到形式邏輯中去，是現(xiàn)代邏輯主義的代表著作（英國貝.素、懷特海）。
- 1913年，完成了半單純李代數(shù)有限維表示理論，奠定了李群表示理論的基礎(chǔ)。在量子力學(xué)和基本粒子理論中有重要應(yīng)用（法國
厄.加當(dāng)，德國韋耳）。
研究黎曼面，初步產(chǎn)生了復(fù)流形的概念（德國
韋耳）。
- 1914年，提出拓?fù)淇臻g的公理系統(tǒng)，為一般拓?fù)鋵W(xué)建立了基礎(chǔ)（德國豪斯道夫）。
- 1915年，把黎曼幾何用于廣義相對論，成為它的主要數(shù)學(xué)工具。解出球?qū)ΨQ的場方程，從而可以計(jì)算水星近日點(diǎn)的移動等問題（瑞士、美籍德國人愛因斯坦，德國
卡.施瓦茨西德）。
- 1918年，應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論方法來研究數(shù)論，建立解析數(shù)論（英國
哈臺、立篤武特）。為改進(jìn)自動電話交換臺的設(shè)計(jì)，提出排隊(duì)論的數(shù)學(xué)理論（丹麥
愛爾蘭）。
希爾伯脫空間理論的形成（匈牙利
里斯）。
- 1919年，建立P-adic數(shù)論，在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何中有重要應(yīng)用（德國
亨賽爾）。
- 1922年
提出數(shù)學(xué)要徹底形式化的主張，創(chuàng)立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的形式主義體系和證明論（德國希爾伯特）。
- 1923年
提出一般聯(lián)絡(luò)的微分幾何學(xué)，將克萊因和黎曼的幾何學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)一起來，是纖維叢概念的發(fā)端（法國
厄·加當(dāng)）。
提出偏微分方程適定性，解決二階雙曲型方程的柯西問題（法國
阿達(dá)瑪）。 提出更廣泛的一類函數(shù)空間——巴拿哈空間的理論（波蘭
巴拿哈）。 提出無限維空間的一種測度——維納測度，對概率論和泛函分析有一定作用（美國
諾·維納）。
- 1925年 創(chuàng)立概周期函數(shù)（丹麥哈·波爾）。
以生物、醫(yī)學(xué)試驗(yàn)為背景，開創(chuàng)了“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”（數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支），也確立了統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法（英國費(fèi)希爾）。
- 1926年
大體上完成對近世代數(shù)有重大影響的理想理論（德國納脫）。
- 1927年
建立動力系統(tǒng)的系統(tǒng)理論，是微分方程定性理論的一個(gè)重要方面（美國畢爾霍夫）。
- 1928年
提出解偏微分方程的差分方法（美籍德國人
理·柯朗）。首次提出通信中的信息量概念（美國
哈特萊）。
提出擬似共形映照理論，在工程技術(shù)上有一定應(yīng)用（德國
格羅許，芬蘭阿爾福斯，蘇聯(lián)
拉甫連捷夫）。
- 1930年
建立格論，是代數(shù)學(xué)的重要分支，對攝影幾何、點(diǎn)集論及泛函分析都有應(yīng)用（美國
畢爾霍夫）。
提出自伴算子譜分析理論并應(yīng)用于量子力學(xué)（美籍匈牙利人
馮·諾伊曼）。
- 1931年
發(fā)現(xiàn)多維流形上的微分型和流形的上同調(diào)性質(zhì)的關(guān)系，給拓?fù)鋵W(xué)以分析工具（瑞士德拉姆）。
證明了公理化數(shù)學(xué)體系的不完備性（奧地利哥德爾）。發(fā)展馬爾可夫過程理論（蘇聯(lián)
柯爾莫哥洛夫，美國 費(fèi)勒）。
- 1932年
解決多元復(fù)變函數(shù)論的一些基本問題（法國亨·嘉當(dāng)）。
建立各態(tài)歷經(jīng)的數(shù)學(xué)理論（美國畢爾霍夫，美籍匈牙利人 馮·諾伊曼）。
建立遞歸函數(shù)理論，是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，在自動機(jī)和算法語言中有重要應(yīng)用（法國赫爾勃蘭特，奧地利
哥德爾，美國 克林）。
- 1933年
提出拓?fù)淙旱牟蛔儨y度概念（匈牙利 奧·哈爾）。
提出概率論的公理化體系（蘇聯(lián)
柯爾莫哥洛夫）。
制訂復(fù)平面上的傅立葉變式理論（美國 諾·維納、丕萊）。
- 1934年
創(chuàng)建大范圍變分學(xué)的理論，為微分幾何和微分拓?fù)涮峁┝擞行Чぞ撸绹獱査梗?
解決極小曲面的基本問題——普拉多問題，即求通過給定邊界而面積為最小的曲面（美國道格拉斯等）。
提出平穩(wěn)過程理論（蘇聯(lián) 辛欽）。
- 1935年
在拓?fù)鋵W(xué)中引入同倫群，成為代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)涞闹匾ぞ撸úㄌm霍勒維奇等）。
開始研究產(chǎn)品使用壽命和可靠性的數(shù)學(xué)理論（法國
龔貝爾）。
- 1936年
寇尼克系統(tǒng)地提出與研究圖的理論。50年代以后，由于在博弈論、規(guī)劃論、信息論等方面的應(yīng)用，貝爾治等對圖的理論有很大的發(fā)展（德國寇尼克，美國
貝爾治）。
現(xiàn)代的代數(shù)幾何學(xué)開始形成（荷蘭
范德凡爾登、法國外耳，美國
查里斯基，意大利 培·塞格勒等）。
提出理想的通用計(jì)算機(jī)概念，同時(shí)建立了算法理論（英國圖靈，美國
邱吉、克林等）。
建立算子環(huán)論，可以表達(dá)量子場論數(shù)學(xué)理論中的一些概念（美籍匈牙利人
馮·諾伊曼）。
提出偏微分方程中的泛函分析方法（蘇聯(lián)
索波列夫）。
- 1937年
證明微分流形的嵌入定理，是微分拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)始（美國
懷特尼）。
提出偏微分方程組的分類法，得出某些基本性質(zhì)（蘇聯(lián)
彼得洛夫斯基）。
開始系統(tǒng)研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)理論（瑞士
克拉默）。
- 1938年
布爾巴基叢書《數(shù)學(xué)原本》開始出版，企圖從數(shù)學(xué)公理結(jié)構(gòu)出發(fā)，以非常抽象的方式敘述全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)（法國布爾巴基學(xué)派）。
- 1940年
證明連續(xù)統(tǒng)假說在集合論公理系中的無矛盾性（美國哥德爾）。提出求數(shù)值解的松弛方法（英國紹司威爾）。
提出交換群調(diào)和分析的理論（蘇聯(lián)
蓋爾方特）。
- 1941年，定義流形上的調(diào)和積分，并用于代數(shù)流行，成為研究流形同調(diào)性質(zhì)的分析工具（美國霍奇）。
- 1941年，開始建立馬爾可夫過程與隨機(jī)微分方程的聯(lián)系（蘇聯(lián)
謝 .伯恩斯坦，日本 伊藤清）。
- 1941年，創(chuàng)立賦范環(huán)理論，主要用于群上調(diào)和分析和算子環(huán)論（蘇聯(lián)蓋爾芳特）。
- 1942年，開始研究隨機(jī)過程的預(yù)測，濾過理論及其在火炮自動控制上的應(yīng)用，由此產(chǎn)生了“統(tǒng)計(jì)動力學(xué)”（美國諾.維納，蘇聯(lián)柯爾莫哥洛夫）。
- 1943年，提出求代數(shù)方程數(shù)字解的林士諤方法（中國林士諤）。
- 1944年，建立了對策論，即博弈論（美籍匈牙利人馮.諾伊曼等）。
- 1945年，推廣了古典函數(shù)的概念，創(chuàng)立廣義函數(shù)論，對微分方程理論和泛函分析有重要作用（法國許瓦茨）。
- 1945年，建立代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展（美籍中國人
陳省身）。
- 1945年，提出了噪聲的統(tǒng)計(jì)理論（美國 斯.賴斯）。
- 1946年，
美國莫爾電子工程學(xué)校和賓夕法尼亞大學(xué)試制成功第一架電子計(jì)算機(jī)ENIAC（設(shè)計(jì)者為埃克特、莫希萊等人）。
- 1946年，建立現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)（法國
外耳）。
- 1946年，發(fā)展三角和法研究解析數(shù)論（中國
華羅庚）。
- 1946年，建立羅倫茲群的表示理論（蘇聯(lián)
蓋爾芳特、諾伊瑪克）。
- 1947年，創(chuàng)立統(tǒng)計(jì)的序貫分析法（美國 埃.瓦爾特）。
- 1948年，造成穩(wěn)態(tài)機(jī)，能在各種變化的外界條件下自行組織，已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。鼓吹這是人造大腦的最初雛形、機(jī)器能超過人等觀點(diǎn)（英國阿希貝）。
1948年，出版《控制論》，首次使用控制論一詞（美國諾.維納）。
- 1948年，提出通信的數(shù)學(xué)理論（美國申農(nóng)）。
- 1948年，總結(jié)了非線性微分方程在流體力學(xué)方面的應(yīng)用，推進(jìn)了這方面的研究（美籍德國人弗里得里希斯、理
.柯朗）。
- 1948年，提出范疇論，是代數(shù)中一種抽象的理論，企圖將數(shù)學(xué)統(tǒng)一于某些原理（波蘭愛倫伯克，美國桑.麥克倫）。
- 1948年，將泛函分析用于計(jì)算數(shù)學(xué)（蘇聯(lián)康脫洛維奇）。
- 1949年，開始確立電子管計(jì)算機(jī)體系，通稱第一代計(jì)算機(jī)。英國劍橋大學(xué)制成第一臺通用電子管計(jì)算機(jī)EDSAC。
- 1950年，發(fā)表《計(jì)算機(jī)和智力》一文，提出機(jī)器能思維的觀點(diǎn)（英國圖靈）。
- 1950年，提出統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)的理論（美國埃.瓦爾特）。
- 1950年，提出解橢圓形方程的超松弛方法，是目前電子計(jì)算機(jī)上常用的方法（英國大.楊）。
- 1950年，提出纖維叢的理論（美國斯丁路特，美籍中國人 陳省身，法國艾勒斯曼）。
- 1951年，五十年代以來，“組合數(shù)學(xué)”獲得迅速發(fā)展，并應(yīng)用于試驗(yàn)設(shè)計(jì)、規(guī)劃理論、網(wǎng)絡(luò)理論、信息編碼等（美國埃.霍夫曼、馬.霍爾等）。
- 1952年，證明連續(xù)群的解析性定理（即希爾伯特第五問題）（美國蒙哥馬利等）。
- 1953年，提出優(yōu)選法，并先后發(fā)展了多種求函數(shù)極值的方法（美國基費(fèi)等）。
- 1954年，發(fā)表《工程控制論》，系統(tǒng)總結(jié)自動控制理論的新發(fā)展（中國錢學(xué)森）。
- 1955年，制定同調(diào)代數(shù)理論（法國 亨.加當(dāng)、格洛辛狄克，波蘭愛倫伯克）。
- 1955年，提出求數(shù)值積分的隆姆貝方法，是目前電子計(jì)算機(jī)上常用的一種方法（美國隆姆貝格）。
- 1955年，制定線性偏微分算子的一般理論（瑞典荷爾蒙特等）。
- 1955年，提出解橢圓形或雙線型偏微分方程的交替方向法（美國拉斯福特等）。
- 1955年，解代數(shù)數(shù)的有理迫近問題（英國羅思）。
- 1956年，提出統(tǒng)籌方法（又名計(jì)劃評審法），是一種安排計(jì)劃和組織生產(chǎn)的數(shù)學(xué)方法為美國杜邦公司首先采用。
- 1956年，提出線性規(guī)劃的單純形方法（英國鄧濟(jì)希等）。
- 1956年，提出解雙曲型和混合型方程的積分關(guān)系法（蘇聯(lián)道洛尼欽）。
- 1957年，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)控制的變分原理（蘇聯(lián)龐特里雅金）。
- 1957年，創(chuàng)立動態(tài)規(guī)劃理論，它是研究使整個(gè)生產(chǎn)過程達(dá)到預(yù)期的最佳目的的一種數(shù)學(xué)方法（美國
貝爾曼）。
- 1957年，以美國康納爾實(shí)驗(yàn)室的“感知器”的研究為代表，開始迅速發(fā)展圖像識別理論（美國
羅森伯拉特等）。
- 1958年，創(chuàng)立算法語言ALGOL58，后經(jīng)改進(jìn)又提出ALGOL60，ALGOL68等算法語言，用于電子計(jì)算機(jī)程序自動化（歐洲GAMM小組，美國ACM小組）。
- 1958年，中國普遍地使用和改進(jìn)“線性規(guī)劃”法。
- 1958年，中國科學(xué)院計(jì)算機(jī)技術(shù)研究所試制成功中國第一架通用電子計(jì)算機(jī)。
- 1959年，美國國際商業(yè)機(jī)器公司制成第一臺晶體管計(jì)算機(jī)“IBM7090”。第二代計(jì)算機(jī)——半導(dǎo)體晶體管計(jì)算機(jī)開始迅速發(fā)展。
- 1959—1960年，伽羅華域論在編碼問題上的應(yīng)用，發(fā)明BCH碼（法國霍昆亥姆，美國兒.玻色，印度雷.可都利）。
- 1960年，提出數(shù)字濾波理論，進(jìn)一步發(fā)展了隨機(jī)過程在制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用（美國卡爾門）。
- 1960年，建立非自共軛算子的系統(tǒng)理論（蘇聯(lián)克雷因，美國 頓弗特）。
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