19世紀

• 1801年，德國高斯出版《算術研究》，開創(chuàng)近代數(shù)論。
• 1809年，法國蒙日出版了微分幾何學的第一本書《分析在幾何學上的應用》。
• 1812年，法國拉普拉斯是近代概率論的先驅(qū)，他的《分析概率論》一書出版。
• 1816年，德國高斯發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但未發(fā)表。
• 1821年，法國柯西的《分析教程》出版，他用極限嚴格地定義了函數(shù)的連續(xù)、導數(shù)和積分，研究了無窮級數(shù)的收斂性等。
• 1822年，法國彭色列系統(tǒng)研究幾何圖形在投影變換下的不變性質(zhì)，建立了射影幾何學。
• 1822年，法國傅立葉研究熱傳導問題，發(fā)明用傅立葉級數(shù)求解偏微分方程的邊值問題，在理論和應用上都有重大影響。
• 1824年，挪威阿貝爾證明用根式求解五次方程的不可能性。
• 1825年，法國柯西發(fā)明關于復變函數(shù)的柯西積分定理，并用來求物理數(shù)學上常用的一些定積分值。
• 1826年，挪威阿貝爾發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)級數(shù)之和并非連續(xù)函數(shù)。
• 1826年，俄國羅巴切夫斯基，匈牙利波約改變歐幾理得幾何學中的平行公理，提出非歐幾何學的理論。
• 1827-1829年，德國雅可比，挪威阿貝爾，法國勒讓德爾確立了橢圓積分與橢圓函數(shù)的理論，在物理、力學中都有應用。
• 1827年，德國高斯建立微分幾何中關于曲面的系統(tǒng)理論。
• 1827年，德國梅比武斯出版《重心演算》，第一次引進齊次坐標。
• 1830年，捷克波爾查諾給出一個連續(xù)而沒有導數(shù)的所謂“病態(tài)”函數(shù)的例子。
• 1830年，法國伽羅華在代數(shù)方程可否用根式求解的研究中建立群論。
• 1831年，法國柯西發(fā)現(xiàn)解析函數(shù)的冪級數(shù)收斂定理。
• 1831年，德國高斯建立了復數(shù)的代數(shù)學，用平面上的點來表示復數(shù)，破除了復數(shù)的神秘性。
• 1835年，法國斯特姆提出確定代數(shù)方程式實根位置的方法。
• 1836年，法國柯西證明解析系數(shù)微分方程式解的存在性。
• 1836年，瑞士史坦納證明具有已知周長的一切封閉曲線中包圍最大面積的圖形必定是圓。
• 1837年，德國狄利克萊第一次給出了三角級數(shù)的一個收斂性定理。
• 1840年，德國狄利克萊把解析函數(shù)用于數(shù)論，并且引入了“狄利克萊”級數(shù)。
• 1841年，德國雅可比建立了行列式的系統(tǒng)理論。
• 1844年，德國格拉斯曼研究多個變元的代數(shù)系統(tǒng)，首次提出多維空間的概念。
• 1846年，德國雅可比提出求實對稱矩陣特征值問題的雅可比方法。
• 1847年，英國布爾創(chuàng)立了布爾代數(shù)，對后來的電子計算機設計有重要應用。
• 1848年，德國庫莫爾研究各種數(shù)域中的因子分解問題，引進了理想數(shù)。
• 1848年，英國斯托克斯發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限的一個重要概念--一致收斂，但未能嚴格表述。
• 1850年，德國黎曼給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念。
• 1851年，德國黎曼提出共形映照的原理，在力學、工程技術中應用頗多，但未給出證明。
• 1854年，德國黎曼建立更廣泛的一類非歐幾何學--黎曼幾何學，并提出多維拓撲流形的概念。
俄國契比雪夫開始建立函數(shù)逼近論，利用初等函數(shù)來逼近復雜的函數(shù)。二十世紀以來，由于電子計算機的應用，使函數(shù)逼近論有很大的發(fā)展。
• 1856年，德國外爾斯特拉斯建立極限理論中的ε-δ方法，確立了一致收斂性的概念。
• 1857年，德國黎曼詳細地討論了黎曼面，把多值函數(shù)看成黎曼面上的單值函數(shù)。
• 1868年，德國普呂克在解析幾何中引進一些新的概念，提出可以用直線、平面等作為基本的空間元素。
• 1870年，挪威李發(fā)現(xiàn)李群，并用以討論微分方程的求積問題。德國克朗尼格給出了群論的公理結構，是后來研究抽象群的出發(fā)點
• 1872年，德國戴特金、康托爾、外耳斯特拉斯數(shù)學分析的“算術化”，即以有理數(shù)的集合來定義實數(shù)。德國克萊茵發(fā)表了“愛爾朗根計劃”，把每一種幾何學都看成是一種特殊變換群的不變量論。
• 1873年，法國埃爾米特證明了π是超越數(shù)。
• 1876年，德國外爾斯特拉斯《解析函數(shù)論》發(fā)行，把復變函數(shù)論建立在冪級數(shù)的基礎上。
• 1881-1884年，美國吉布斯制定了向量分析。
• 1881-1886年，法國彭加勒連續(xù)發(fā)表《微分方程所確定的積分曲線》的論文，開創(chuàng)微分方程定性理論（）。
• 1882年，德國林德曼證明了是超越數(shù)。英國亥維賽制定運算微積，是求解某些微分方程的一種簡便方法，工程上常有應用。
• 1883年，德國康托爾建立集合論，發(fā)展了超窮基數(shù)的理論。
• 1884年，德國弗萊格《數(shù)論的基礎》出版，是數(shù)理邏輯中量詞理論的發(fā)端。
• 1887-1896年，德國達爾布出版了四卷《曲面的一般理論的講義》，總結了一個世紀來關于曲線和曲面的微分 幾何學的成就。
• 1892年，俄國李雅普諾夫建立運動穩(wěn)定性理論，是微分方程定性理論的重要方面。
• 1892-1899年，法國彭加勒創(chuàng)立自守函數(shù)論。
• 1895年，法國彭加勒提出同調(diào)的概念，開創(chuàng)代數(shù)拓撲學。
• 1899年，德國希爾伯特《幾何學基礎》出版，提出歐幾里得幾何學的嚴格的公理系統(tǒng)，對數(shù)學的公理化思潮有很大影響。 瑞利等人最早提出基于統(tǒng)計概念的計算方法--蒙太卡諾方法的思想。
• 二十世紀二十年代柯朗（德）、馮.諾伊曼（美）等人發(fā)展了這個方法。后在電子計算機上獲得應用。提出數(shù)學上未解決的23個問題，引起了20世紀許多數(shù)學家的注意（德國希爾伯特）。