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一、數(shù)學認識的一般性與特殊性
數(shù)學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發(fā)生和發(fā)展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線。但是，數(shù)學對象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產(chǎn)生數(shù)學認識論的特有問題。
數(shù)學認識的一般性
認識論是研究認識的本質(zhì)以及認識發(fā)生、發(fā)展一般規(guī)律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關(guān)系、認識的真理性等問題。數(shù)學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐——認識——再實踐這一辯證唯物論的認識路線。
事實上，數(shù)學史上的許多新學科都是在解決現(xiàn)實問題的實踐中產(chǎn)生的。最古老的算術(shù)和幾何學產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計數(shù)和測量，這已是不爭的歷史事實。數(shù)學家應用已有的數(shù)學知識在解決生產(chǎn)和科學技術(shù)提出的新的數(shù)學問題的過程中，通過試探或試驗，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數(shù)學問題積累到一定程度后，便形成數(shù)學研究的新問題（對象）類或新領(lǐng)域，產(chǎn)生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經(jīng)驗知識。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經(jīng)驗知識后，就標志著一門新的數(shù)學分支學科的產(chǎn)生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數(shù)學知識是通過實踐而獲得的，表現(xiàn)為一種經(jīng)驗知識的積累。
這時的數(shù)學經(jīng)驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經(jīng)過去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統(tǒng)的理論知識。
數(shù)學知識由經(jīng)驗知識形態(tài)上升為理論形態(tài)后，數(shù)學家又把它應用于實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，并且加以完善和發(fā)展。同時，社會實踐的發(fā)展，又會提出新的數(shù)學問題，迫使數(shù)學家創(chuàng)造新的方法和思想，產(chǎn)生新的數(shù)學經(jīng)驗知識，即新的數(shù)學分支學科。由此可見，數(shù)學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認識過程。這就是數(shù)學認識的一般性。
數(shù)學認識的特殊性
科學的區(qū)分在于研究對象的特殊性。數(shù)學研究對象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規(guī)定性，而不研究事物的質(zhì)的規(guī)定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規(guī)律。所以數(shù)學對象的特殊性決定了數(shù)學認識方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在數(shù)學知識由經(jīng)驗形態(tài)上升為理論形態(tài)的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產(chǎn)生的特有的理論形態(tài)——公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。同時，作為對數(shù)學經(jīng)驗知識概括的公理系統(tǒng)，是否正確地反映經(jīng)驗知識呢？數(shù)學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統(tǒng)應該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數(shù)學家進一步把公理系統(tǒng)抽象為形式系統(tǒng)。因此，演繹法是數(shù)學認識特殊性的表現(xiàn)。
二、概括數(shù)學本質(zhì)的嘗試
數(shù)學認識的一般性表明，數(shù)學的感性認識表現(xiàn)為數(shù)學知識的經(jīng)驗性質(zhì)；數(shù)學認識的特殊性表明，數(shù)學的理性認識表現(xiàn)為數(shù)學知識的演繹性質(zhì)。因此，認識論中關(guān)于感性認識與理性認識的關(guān)系在數(shù)學認識論中表現(xiàn)為數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的關(guān)系。所以，認識數(shù)學的本質(zhì)在于認識數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。那么數(shù)學哲學史上哲學家是如何論述數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的關(guān)系，從而得出他們對數(shù)學本質(zhì)的看法的呢？
數(shù)學哲學史上最早探討數(shù)學本質(zhì)的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段，認為數(shù)學是處于從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數(shù)學知識在認識論中的定位，第一次觸及數(shù)學的本質(zhì)問題。
17世紀英國經(jīng)驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經(jīng)驗論，表述了數(shù)學經(jīng)驗論觀點。他強調(diào)數(shù)學知識來源于經(jīng)驗，但又認為屬于論證知識的數(shù)學不如直覺知識清楚和可靠。
德國哲學家兼數(shù)學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數(shù)學哲學觀。他認為：“全部算術(shù)和全部幾何學都是天賦的”；數(shù)學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術(shù)和幾何學；數(shù)學是屬于推理真理。他否認了數(shù)學知識具有經(jīng)驗性。
德國哲學家康德為了克服唯理論與經(jīng)驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數(shù)學是“先天綜合判斷”。由于這一觀點帶有先驗性和調(diào)和性，所以它并沒有解決數(shù)學知識的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。
康德以后，數(shù)學發(fā)展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數(shù)數(shù)學家形成一種認識：數(shù)學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數(shù)學基礎(chǔ)學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數(shù)學歸結(jié)為邏輯，后者把數(shù)學看作是符號游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統(tǒng)的局限性和數(shù)學演繹論的片面性。這就使得一些數(shù)學家開始懷疑“數(shù)學是一門演繹科學”的觀點，提出，數(shù)學是一門有經(jīng)驗根據(jù)的科學，但它并不排斥演繹法。這引起一場來自數(shù)學家的有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的討論。 拉卡托斯為了避免數(shù)學演繹論與經(jīng)驗論的片面性，從分析數(shù)學理論的結(jié)構(gòu)入手，提出數(shù)學是一門擬經(jīng)驗科學。他說：“作為總體上看，按歐幾里得方式重組數(shù)學也許是不可能的，至少最有意義的數(shù)學理論像自然科學理論一樣，是擬經(jīng)驗的。”盡管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統(tǒng)打開了第一個缺口，但是，擬經(jīng)驗論實際上是半經(jīng)驗論，并沒有真正解決數(shù)學性質(zhì)問題，因而數(shù)學家對它以及數(shù)學哲學史上有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的概括并不滿意。1973年，數(shù)理邏輯學家A.羅賓遜說：“就應用辯證法來仔細分析數(shù)學或某一種數(shù)學理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發(fā)現(xiàn)經(jīng)得起認真批判的東西。”因此，當計算機在數(shù)學中的應用引起數(shù)學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和借助計算機進行大量試驗而創(chuàng)立分形幾何時，再次引起了數(shù)學家們對“什么是證明？”“什么是數(shù)學？”這類有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的爭論�！�
三、數(shù)學本質(zhì)的辯證性
正因為一些著名數(shù)學家不滿意對數(shù)學本質(zhì)的概括，他們開始從數(shù)學研究的體驗來闡明數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的相互關(guān)系。D.希爾伯特說：數(shù)學的源泉就在于思維與經(jīng)驗的反復出現(xiàn)的相互作用，馮·諾伊曼說：數(shù)學的本質(zhì)存在著經(jīng)驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數(shù)學“進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發(fā)，并且又返回到具體和特定的事物中去”；而A.羅賓遜則寄希望于：“出現(xiàn)一種以辯證的研究方法為基礎(chǔ)的、態(tài)度認真的數(shù)學的哲學”。 本節(jié)將根據(jù)數(shù)學知識的三種形態(tài)（經(jīng)驗知識、公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）及其與實踐的關(guān)系，具體說明數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系。
經(jīng)驗知識是有關(guān)數(shù)學模型及其解決方法的知識。數(shù)學家利用數(shù)學和自然科學的知識，從現(xiàn)實問題中提煉或抽象出數(shù)學問題（數(shù)學模型），然后求模型的數(shù)學解（求模型解），并返回實踐中去解決現(xiàn)實問題。這一過程似乎是數(shù)學知識的簡單應用，但事實并非如此。因為數(shù)學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識并非一次完成，特別是遇到復雜的問題時，需要修正已有的數(shù)學模型及其求解的方法和理論，并經(jīng)多次反復試驗，才能解決現(xiàn)實問題。況且社會實踐的發(fā)展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數(shù)學家發(fā)明或創(chuàng)造新的方法、思想和原理，并在實踐中得到反復檢驗，產(chǎn)生新的數(shù)學分支學科。這時的數(shù)學知識是在解決實踐提出的數(shù)學問題中產(chǎn)生的，屬于經(jīng)驗知識，具有經(jīng)驗的性質(zhì)。
數(shù)學的經(jīng)驗性向演繹性轉(zhuǎn)化 第一部分講過，數(shù)學經(jīng)驗知識具有零散性和不嚴密性，有待于上升或轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的理論知識；而數(shù)學對象的特殊性使得這種轉(zhuǎn)化采取特殊的途徑和方法——公理法，產(chǎn)生特有的理論形態(tài)——公理系統(tǒng)。所以，數(shù)學的經(jīng)驗性向演繹性的轉(zhuǎn)化，具體表現(xiàn)為經(jīng)驗知識向作為理論形態(tài)的公理系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化。
公理系統(tǒng) 是應用公理方法從某門數(shù)學經(jīng)驗知識中提煉出少數(shù)基本概念和公理作為推理的前提，然后根據(jù)邏輯規(guī)則演繹出屬于該門知識的命題構(gòu)成的一個演繹系統(tǒng)。它是數(shù)學知識的具體理論形態(tài)，是對數(shù)學經(jīng)驗知識的理論概括。就其內(nèi)容來說，是經(jīng)驗的；但就其表現(xiàn)形式來說，是演繹的，具有演繹性質(zhì)。因為數(shù)學成果（一般表現(xiàn)為定理）不能靠歸納或?qū)嶒瀬碜C實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數(shù)學家是不予承認的。
公理系統(tǒng)就其對經(jīng)驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數(shù)學家采取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際應用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統(tǒng)應該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。這就引導數(shù)學家對公理系統(tǒng)的進一步抽象，產(chǎn)生形式系統(tǒng)。
形式系統(tǒng) 是形式化了的公理系統(tǒng)，是由形式語言、公理和推理規(guī)則組成的。它是應用形式化方法從不同的具體公理系統(tǒng)中抽象出共同的推理形式，構(gòu)成一個形式系統(tǒng)；然后用有窮推理方法研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)。所以，形式系統(tǒng)是撇開公理系統(tǒng)的具體內(nèi)容而作的進一步抽象，是數(shù)學知識的抽象理論形態(tài)。它采用的是形式推理的方法，表現(xiàn)其知識形態(tài)的演繹性。
數(shù)學的演繹性向經(jīng)驗性的轉(zhuǎn)化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)的研究也證實了這種轉(zhuǎn)化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統(tǒng)的局限性：（1 ）形式公理系統(tǒng)的相容性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明，必須求助于更強的形式公理系統(tǒng)才能證明。而相容性是對公理系統(tǒng)最基本的要求，那么在找到更強的形式公理系統(tǒng)之前，數(shù)學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統(tǒng)回到實踐中去，通過解決現(xiàn)實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術(shù)的形式公理系統(tǒng)是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統(tǒng)的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥�！安煌耆浴笔侵�，在該系統(tǒng)中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對數(shù)學經(jīng)驗知識的抽象的公理系統(tǒng)，不可能把屬于該門數(shù)學的所有經(jīng)驗知識（命題）都包括無遺。對于“不可判定命題”的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統(tǒng)的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數(shù)學的理論知識返回到實踐接受檢驗。
由此可見，數(shù)學的認識過程是：在解決現(xiàn)實問題的實踐基礎(chǔ)上獲得數(shù)學的經(jīng)驗知識；然后上升為演繹性的理論知識（公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）；再返回到實踐中，通過解決現(xiàn)實問題而證實自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學知識。這是辯證唯物論的認識論在數(shù)學認識論上的具體表現(xiàn)，反映了數(shù)學本質(zhì)上是數(shù)學知識的經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一。
四、數(shù)學是一門演算的科學 既然數(shù)學的本質(zhì)是經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一，那么能否對數(shù)學的本質(zhì)進一步作出哲學概括呢？即用簡潔的語言表達數(shù)學的本質(zhì)，就像拉卡托斯說的“數(shù)學是擬經(jīng)驗的科學”那樣。為此，本文提出，數(shù)學是一門演算的科學（其中“演”表示演繹，“算”表示計算或算法，“演算”表示演與算這對矛盾的對立統(tǒng)一）。在此，必須說明三點：何以如此概括？“演算”能否反映數(shù)學研究的特點以及能否反映數(shù)學本質(zhì)的辯證性？
1.何以如此概括？ 首先，從理論上講，數(shù)學本質(zhì)是數(shù)學觀的一個重要問題，而數(shù)學觀與數(shù)學方法論是統(tǒng)一的，所以可以通過方法論來分析數(shù)學觀。數(shù)學認識對象的特殊性決定了數(shù)學認識方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在，數(shù)學研究除了像自然科學那樣僅僅采用觀察、實驗、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數(shù)學認識方法來反映數(shù)學認識的本質(zhì)。
其次，從事實上看，數(shù)學知識的經(jīng)驗性表明數(shù)學是適應社會實踐需要而產(chǎn)生的，是解決實際問題的經(jīng)驗積累。社會實踐提出的數(shù)學問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進行具體的計算，所以計算表征了數(shù)學經(jīng)驗知識的特點。而對于各種具體的計算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數(shù)學知識的經(jīng)驗性在方法論上的計算或算法特點。同時，數(shù)學知識的演繹性反映數(shù)學認識在方法論上的演繹特點，所以，可以用“演”來反映數(shù)學知識的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數(shù)學本質(zhì)的經(jīng)驗性與演繹性。
第三，為避免概括數(shù)學本質(zhì)的片面性。自從數(shù)學分為應用數(shù)學與純粹數(shù)學以后，許多數(shù)學家認為，數(shù)學來源于經(jīng)驗是很早以前的事，現(xiàn)在已經(jīng)不是了，而是變成一門演繹科學了。而一般人也接受這種觀點。但這樣強調(diào)數(shù)學的演繹性特點，卻忽視了數(shù)學具有經(jīng)驗性質(zhì)的一面。為了避免這種片面性，這里特別通過數(shù)學方法論來概括和反映數(shù)學的本質(zhì)。
2.“演算”反映了數(shù)學研究的特點
數(shù)學研究對象的特殊性產(chǎn)生了數(shù)學研究特有的問題：計算與證明。它們成為數(shù)學研究的兩項主要工作。關(guān)于“證明”。數(shù)學對象的特殊性使得數(shù)學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數(shù)學家是不予承認的。所以，數(shù)學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數(shù)學研究工作的重要特點。關(guān)于“計算”。數(shù)學本身就是起源于計算，即使數(shù)學發(fā)展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計算。數(shù)學家在證明一個定理之前，必須經(jīng)過大量的具體計算，進行各種試驗或?qū)嶒�，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時候，才能從邏輯上進行綜合論證，表達為一系列的演繹推理過程，即證明。從應用數(shù)學來看，更是需要大量的計算，所以人們才發(fā)明各種計算機。在電子計算機廣泛應用的今天，計算的規(guī)模更大了，以致在數(shù)學中出現(xiàn)數(shù)值實驗。因此，計算成為數(shù)學研究的另一項重要工作。
既然“計算與證明”是數(shù)學研究的兩項主要工作和特點，那么“數(shù)學是演算的科學”這一概括是否反映出這一特點？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則所進行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點。而“算”顯然更可以直接反映“計算”或“算法”及其特點。由此可見，“演算”反映了數(shù)學研究的計算和證明這兩項基本工作及其特點。
3.“演”與“算”的對立統(tǒng)一反映數(shù)學性質(zhì)的辯證性 首先，從數(shù)學發(fā)展的宏觀來看。數(shù)學史告訴我們，數(shù)學起源于“算”，即起源于物體個數(shù)、田畝面積、物體長度等的計算。要計算就要有計算方法，當各種計算方法積累到一定數(shù)量的時候，數(shù)學家就進行分類，概括出適用于某類問題的計算公式、法則、原理，統(tǒng)稱為算法。所以數(shù)學的童年時期叫做算術(shù)，它表現(xiàn)為一種經(jīng)驗知識。當歐幾里得建立數(shù)學史上第一個公理系統(tǒng)時，才出現(xiàn)“演繹法”。此后，“演”與“算”便構(gòu)成了數(shù)學發(fā)展中的一對基本矛盾，推動著數(shù)學的發(fā)展。這在西方數(shù)學思想史中表現(xiàn)最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數(shù)學思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數(shù)學主要思想已由算法轉(zhuǎn)向演繹法；從亞歷山大里亞后期到18世紀，數(shù)學主要思想再次由演繹法轉(zhuǎn)向算法；19世紀到20世紀上半葉，數(shù)學主要思想又由算法轉(zhuǎn)向演繹法；電子計算機的應用促進了計算數(shù)學的發(fā)展及其與之交叉的諸如計算流體力學、計算幾何等邊緣學科的產(chǎn)生以及數(shù)學實驗的出現(xiàn)。這一切又使算法思想重新得到發(fā)展，成為與演繹法并駕齊驅(qū)的思想�？梢灶A言，隨著計算機作為數(shù)學研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當長一個時期數(shù)學的主要思想。算法思想與演繹思想在數(shù)學發(fā)展過程中的這種更迭替代，從一個側(cè)面體現(xiàn)了“演”與“算”這對矛盾在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化。所以，有的數(shù)學史工作者從方法論的角度把數(shù)學的發(fā)展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。
其次，從數(shù)學研究的微觀來看�！把荨敝杏小八恪�，這充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計算”，包含著“算”向“演”轉(zhuǎn)化�！八恪敝杏小把荨保@充分表現(xiàn)在算術(shù)和代數(shù)中。算術(shù)和代數(shù)表現(xiàn)為“算”，但是，算術(shù)和代數(shù)的“算”，并不是自由地計算，而是要遵循基本的四則運算及其規(guī)律，即計算要按照一定的計算規(guī)則，就像證明要遵守推理規(guī)則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉(zhuǎn)化。“演”與“算”的這種對立統(tǒng)一更充分地體現(xiàn)在計算機的數(shù)值計算和定理證明中。這種“算”與“演”的對立統(tǒng)一關(guān)系，從一個側(cè)面反映了數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性的辯證關(guān)系，反映了數(shù)學性質(zhì)的辯證性。
綜上所述，既然“演算”概括了數(shù)學研究的特點，反映了數(shù)學的經(jīng)驗性與演繹性及其辯證關(guān)系，我們就有理由把它作為對數(shù)學本質(zhì)的概括，說“數(shù)學是一門演算的科學”。
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